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章末综合检测（四） 指数函数与对数函数
A卷——学业水平考试达标练
(时间：60分钟 满分：100分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．计算27×7－log4＋ln e2－2lg 2－lg 25＝( )
A．20 B．21
C．9 D．11
解析：选B 原式＝(33)×2＋3＋2－(lg 4＋lg 25)＝21.
2．下列函数中定义域与值域相同的是( )
A．f(x)＝2 B．f(x)＝lg
C．f(x)＝ D．f(x)＝
解析：选C A中，定义域为(0，＋∞)，值域为(1，＋∞)；B中，定义域为(0，＋∞)，值域为R；C中，由2x≥1，得x≥0，所以定义域与值域都是[0，＋∞)；D中，由lg x≥0，得x≥1，所以定义域为[1，＋∞)，值域为[0，＋∞)．选C.
3．下列函数关系中，可以看作是指数型函数y＝kax(k∈R，a>0且a≠1)的模型的是( )
A．竖直向上发射的信号弹，从发射开始到信号弹到达最高点，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)
B．我国人口年自然增长率为1%时，我国人口总数与年份的关系
C．如果某人t s内骑车行进了1 km，那么此人骑车的平均速度v与时间t的函数关系
D．信件的邮资与其重量间的函数关系
解析：选B A中的函数模型是二次函数；B中的函数模型是指数型函数；C中的函数模型是反比例函数；D中的函数模型是一次函数．故选B.
4．在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 因为f＝e－2<0，f＝e－1>0，所以ff<0，又函数y＝ex是单调增函数，y＝4x－3也是单调增函数，由函数单调性的性质可知函数f(x)＝ex＋4x－3是单调增函数，所以函数f(x)＝ex＋4x－3的零点在内．
5．函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)与g(x)＝－x＋a的图象大致是( )
解析：选A ∵g(x)＝－x＋a是R上的减函数，∴排除选项C、D.由选项A、B的图象知，a>1.
∵g(0)＝a>1，故选A.
6．(2019·全国卷Ⅰ)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则( )
A．a<b<c B．a<c<b
C．c<a<b D．b<c<a
解析：选B 因为a＝log20.2<0，b＝20.2>1,0<c＝0.20.3<1，
所以b>c>a.
7．设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是( )
A．[－1,2] B．[0,2]
C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)
解析：选D 当x≤1时，由21－x≤2，得1－x≤1，即x≥0，
∴0≤x≤1.
当x>1时，由1－log2x≤2，得log2x≥－1，
即x≥，∴x>1.
综上，满足f(x)≤2的x的取值范围是[0，＋∞)．
8．(2018·河北定州中学高一上期末)函数y＝的单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
解析：选C 设u＝－x2＋x＋2，
则u＝－2＋.
则u＝－x2＋x＋2在上递增，
在上递减，
又y＝u是减函数，
故y＝的单调递增区间为.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
9．已知奇函数f(x)＝＋a(a≠0)，则方程f(x)＝的解x＝________.
解析：由f(x)是奇函数知f(x)＋f(－x)＝0，
即＋a＋＋a＝0，化简得2a－1＝0，
解得a＝，因此f(x)＝＋，
依题意得＋＝，即3x＝4，
解得x＝log34.
故f(x)＝的解x＝log34.
答案：log34
10．一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存2 KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后经过________分钟，该病毒占据64 MB内存(1 MB＝210KB)．
解析：设开机后经过n个3分钟后，该病毒占据64 MB内存，
则2×2n＝64×210＝216，解得n＝15，故时间为15×3＝45(分钟)．
答案：45
11．给出下列函数：①y＝x2＋1；②y＝－|x|；③y＝|x|；④y＝log2x.
(1)是定义在R上的偶函数；
(2)对任意x1，x2∈(0，＋∞)(x1≠x2)，有<0.其中同时满足上述两个条件的函数是________(填序号)．
解析：由题意，得所给的四个函数中既是定义在R上的偶函数，又在区间(0，＋∞)上为减函数的是②③.
答案：②③
12．设0≤x≤2，则函数y＝4－3·2x＋5的最大值是________，最小值是________．
解析：y＝4－3·2x＋5＝(2x)2－3·2x＋5.
令t＝2x，x∈[0,2]，则1≤t≤4，
于是y＝t2－3t＋5＝(t－3)2＋，1≤t≤4.
当t＝3时，ymin＝；
当t＝1时，ymax＝×(1－3)2＋＝.
答案：
三、解答题(本大题共4小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
13．(8分)计算下列各式的值：
(1)log3＋lg 25＋lg 4－log2(log216)；
(2)－(－6.9)0－＋－2.
解：(1)原式＝log33＋lg(25×4)－log24＝＋2－2＝.
(2)原式＝－1－＋＝－1－＋＝.
14．(10分)已知函数f(x)＝log2(x＋1)，当点(x，y)是函数f(x)图象上的点时，点是函数g(x)图象上的点．
(1)写出函数g(x)的表达式；
(2)当2g(x)－f(x)≥0时，求x的取值范围．
解：(1)令x′＝，y′＝，
把x＝3x′，y＝2y′代入y＝log2(x＋1)，
得y′＝log2(3x′＋1)，
∴g(x)＝log2(3x＋1)．
(2)2g(x)－f(x)≥0，
即log2(3x＋1)－log2(x＋1)≥0，
∴解得x≥0，
故x的取值范围为[0，＋∞)．
15．(10分)已知函数f(x)＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1恒有零点．
(1)求实数m的取值范围；
(2)若函数有两个不同的零点，且其倒数之和为－4，求实数m的值．
解：(1)当m＋6＝0时，函数为f(x)＝－14x－5，显然有零点；
当m＋6≠0时，由Δ＝4(m－1)2－4(m＋6)(m＋1)＝－36 m－20≥0，得m≤－，
∴当m≤－，且m≠－6时，函数f(x)有零点．
综上，实数m的取值范围为.
(2)由题目条件知m＋6≠0，设x1，x2(x1≠x2)是函数f(x)的两个零点，
则有x1＋x2＝－，x1x2＝.
∵＋＝－4，即＝－4，
∴－＝－4，解得m＝－3.
又当m＝－3时，Δ>0，符合题意，
∴m＝－3.
16．(12分)某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？
解：(1)当x≤6时，y＝50x－115，
令50x－115＞0，解得x＞2.3，
∵x为整数，∴3≤x≤6，x∈Z.
当x＞6时，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115.
令－3x2＋68x－115＞0，有3x2－68x＋115＜0，结合x为整数得6＜x≤20，x∈Z.
∴f(x)＝
(2)对于y＝50x－115(3≤x≤6，x∈Z)，
显然当x＝6时，ymax＝185；
对于y＝－3x2＋68x－115
＝－32＋(6＜x≤20，x∈Z)，
当x＝11时，ymax＝270.
∵270＞185，∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．
B卷——高考应试能力标准练
(时间：90分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．函数y＝的定义域为( )
A．(1,2) B．[1,2)
C．(1,2] D．[1,2]
解析：选A 由题意得解得1<x<2，所以所求函数的定义域为(1,2)．
2．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：万元)对年销售量y(单位：t)的影响，对近6年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，6)进行整理，得数据如表所示：
x
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
y
1.65
2.20
2.60
2.76
2.90
3.10
根据表中数据，下列函数中，适宜作为年销售量y关于年宣传费x的拟合函数的是( )
A．y＝0.5(x＋1) B．y＝log3x＋1.5
C．y＝2x－1 D．y＝2
解析：选B 由表可知y随x的增大而增大，最后趋于平缓，符合对数型函数模型，故选B.
3．给出下列等式：①＝a3，②＝a2，③a＝，④a＝a，⑤logab2＝2logab，⑥lg a·lg b＝lg(a＋b)，其中一定成立的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B ①中，＝＝|a3|，不一定等于a3；②中，＝＝a2，成立；③中，a＝，不一定等于；④中，a＝＝＝a，成立；⑤中，当b<0时，logab无意义，故⑤不一定成立；⑥中，若a＝b＝10，则lg a·lg b＝lg 10·lg 10＝1，lg(a＋b)＝lg 20＝1＋lg 2，lg a·lg b≠lg(a＋b)，故⑥不一定成立．故选B.
4．四个数2.40.8,3.60.8，log0.34.2, log0.40.5的大小关系为( )
A．3.60.8>log0.40.5>2.40.8>log0.34.2
B．3.60.8>2.40.8>log0.34.2>log0.40.5
C．log0.40.5>3.60.8>2.40.8>log0.34.2
D．3.60.8>2.40.8>log0.40.5>log0.34.2
解析：选D ∵y＝x0.8在(0，＋∞)上是增函数，又3.6>2.4>1，∴3.60.8>2.40.8>1.
∵log0.34.2<log0.31＝log0.4 1<log0.4 0.5<log0.4 0.4，∴log0.34.2<0<log0.40.5<1，∴3.60.8>2.40.8>
log0.40.5>log0.34.2.
5．函数f(x)＝的零点个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C 当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，得x＝－3，当x>0时，令－2＋ln x＝0，得x＝e2，所以函数有两个零点．
6．(2018·湛江一中期末考试)函数f(x)＝的值域为( )
A．(e，＋∞) B．(－∞，e)
C．(－∞，－e) D．(－e，＋∞)
解析：选B 当x≥1时，logx≤0，当x<1时，0<ex<e，所以函数f(x)的值域为(－∞，e)，故选B.
7．函数y＝(x＋2)ln |x|的图象大致为( )
解析：选A 当x＝2时，y＝4ln 2>0，可排除B；当x＝－3时，y＝－ln 3<0，故可排除C、D.故选A.
8．(2019·全国卷Ⅱ)若a>b，则( )
A．ln(a－b)>0 B．3a<3b
C．a3－b3>0 D．|a|>|b|
解析：选C 法一：不妨设a＝－1，b＝－2，则a>b，可验证A、B、D错误，只有C正确．
法二：由a>b，得a－b>0.但a－b>1不一定成立，则ln(a－b)>0不一定成立，故A不一定成立．
因为y＝3x在R上是增函数，当a>b时，3a>3b，故B不成立．
因为y＝x3在R上是增函数，当a>b时，a3>b3，即a3－b3>0，故C成立．
因为当a＝3，b＝－6时，a>b，但|a|<|b|，所以D不一定成立．故选C.
9．设x，y，z为正实数，且log2x＝log3y＝log5z>0，则，，的大小关系不可能是( )
A.<< B.＝＝
C.<< D.<<
解析：选D 设log2x＝log3y＝log5z＝k>0，
可得x＝2k>1，y＝3k>1，z＝5k>1.
∴＝2k－1，＝3k－1，＝5k－1.
①若0<k<1，则函数f(x)＝xk－1单调递减，
∴>>；
②若k＝1，则函数f(x)＝xk－1＝1，∴＝＝；
③若k>1，则函数f(x)＝xk－1单调递增，
∴<<.
∴，，的大小关系不可能是D.
10．如果一个点是一个指数函数与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好点”．在下面的五个点M(1,1)，N(1,2)，P(2,1)，Q(2,2)，G中，可以是“好点”的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C 设指数函数为y＝ax(a>0，且a≠1)，显然其图象不过点M，P；设对数函数为y＝logbx(b>0，且b≠1)，显然其图象不过点N.故选C.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
11．函数y＝loga(2x－3)＋8的图象恒过定点A，且点A在幂函数f(x)的图象上，则f(3)＝________.
解析：由题意得定点A为(2,8)，设f(x)＝xα，则2α＝8，α＝3，∴f(x)＝x3，∴f(3)＝33＝27.
答案：27
12．已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝x3＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c由小到大的顺序为________．
解析：在同一坐标系中同时画出函数y＝2x，y＝log2x，y＝x3和y＝－x的图象，根据交点可知a<c<b.
答案：a<c<b
13．如果函数y＝logax在区间[2，＋∞)上恒有y>1，那么实数a的取值范围是________．
解析：当x∈[2，＋∞)时，y>1>0，所以a>1，所以函数y＝logax在区间[2，＋∞)上是增函数，最小值为loga2，所以loga2>1＝logaa，所以1<a<2.
答案：(1,2)
14．若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．
解析：由f(x)＝|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b.
在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示，
则当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点．
答案：(0,2)
三、解答题(本大题共5小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(8分)(2018·天津和平区高一模拟)计算：
(1)log525＋lg＋ln＋2；
(2)0.5＋(－3)－1÷0.75－2－.
解：(1)log525＋lg＋ln＋2＝2＋(－2)＋＋1＝.
(2)0.5＋(－3)－1÷0.75－2－＝－÷－＝－－＝0.
16．(10分)已知函数f(x)＝ax＋k(a>0，且a≠1)的图象过点(－1,1)，其反函数f－1(x)的图象过点(8,2)．
(1)求a，k的值；
(2)若将f－1(x)的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，就得到函数g(x)的图象，写出g(x)的解析式．
解：(1)由题意，得解得
(2)由(1)，知f(x)＝2x＋1，得f－1(x)＝log2x－1，
将f－1(x)的图象向左平移2个单位长度，得到y＝log2(x＋2)－1的图象，再向上平移1个单位长度，得到y＝log2(x＋2)的图象．
所以g(x)＝log2(x＋2)．
17．(10分)已知函数y＝loga(x＋3)－(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，求b的值．
解：当x＋3＝1，即x＝－2时，对任意的a＞0，且a≠1都有y＝loga1－＝0－＝－，所以函数y＝loga(x＋3)－的图象恒过定点A，
若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，则－＝3－2＋b，所以b＝－1.
18．(10分)声强级L(单位：dB)由公式L＝10lg给出，其中I为声强(单位：
W/m2)．
(1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为1 W/m2，能听到的最低声强为10－12 W/m2，求人听觉的声强级范围；
(2)在一演唱会中，某女高音的声强级高出某男低音的声强级20 dB，请问该女高音的声强是该男低音声强的多少倍？
解：(1)由题知10－12≤I≤1，∴1≤≤1012，
∴0≤lg≤12，∴0≤L≤120，
∴人听觉的声强级范围是[0,120](单位：dB)．
(2)设该女高音的声强级为L1，声强为I1，该男低音的声强级为L2，声强为I2，
由题知L1－L2＝20，
则10lg－10lg＝20，
∴lg＝2，∴I1＝100I2.
故该女高音的声强是该男低音声强的100倍．
19．(12分)已知函数f(x)＝log9(9x＋1)＋kx是偶函数．
(1)求k的值；
(2)若方程f(x)＝x＋b有实数根，求b的取值范围．
解：(1)∵f(x)为偶函数，∴∀x∈R，有f(－x)＝f(x)，∴log9(9－x＋1)－kx＝log9(9x＋1)＋kx对x∈R恒成立．
∴2kx＝log9(9－x＋1)－log9(9x＋1)＝log9－log9(9x＋1)＝－x对x∈R恒成立，
∴(2k＋1)x＝0对x∈R恒成立，∴k＝－.
(2)由题意知，log9(9x＋1)－x＝x＋b有实数根，即log9(9x＋1)－x＝b有解．
令g(x)＝log9(9x＋1)－x，则函数y＝g(x)的图象与直线y＝b有交点．g(x)＝log9(9x＋1)
－x＝log9＝log9.∵1＋>1，∴g(x)＝log9>0，∴b的取值范围是
(0，＋∞)．
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