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课时素养评价 三十六
不同函数增长的差异
(20分钟·40分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.下列函数中,随x的增大而增大,且速度最快的是 ( )
A.y=3x B.y=1 000x
C.y=log2x D.y=x3
【解析】选A.指数函数模型增长速度最快.
2.有一组实验数据如表所示:
t
1
2
3
4
5
s
1.5
5.9
13.4
24.1
37
下列所给函数模型较适合的是 ( )
A.y=logax(a>1) B.y=ax+b(a>1)
C.y=ax2+b(a>0) D.y=logax+b(a>1)
【解析】选C.通过所给数据可知s随t的增大而增大,其增长速度越来越快,而A,D中的函数增长速度越来越慢,而B中的函数增长速度保持不变.
3.某林区的森林蓄积量平均每年比上一年增长10.4%,若经过x年可以增长到原来的y倍,则函数y=f(x)的大致图象是下图中的 ( )
【解析】选D.设某林区的森林蓄积量原有1个单位,则经过1年森林的蓄积量为1+10.4%;经过2年森林的蓄积量为(1+10.4%)2;…;经过x年的森林蓄积量为(1+10.4%)x(x≥0),即y=(110.4%)x(x≥0).因为底数110.4%大于1,根据指数函数的图象,可知D选项正确.
4.某商品价格前两年递增20%,后两年递减20%,则四年后的价格与原来价格相比较,变化情况是 ( )
A.减少7.84% B.增加7.84%
C.减少9.5% D.不增不减
【解析】选A.由题意,设商品原价格为a元,则四年后的价格为a(1+20%)2(1 -20%)2=0.921 6a.所以=7.84%.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.函数y=x2与函数y=xln x在区间(0,+∞)上增长较快的一个是________.
【解析】当x变大时,x比ln x增长要快,
所以x2要比xln x增长的要快.
答案:y=x2
6.某工厂8年来某种产品总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示.
以下四种说法:
①前三年产量增长的速度越来越快;②前三年产量增长的速度越来越慢;③第三年后这种产品停止生产;④第三年后产量保持不变.其中说法正确的序号是__________.
【解析】由t∈[0,3]的图象联想到幂函数y=xα(0<α<1),反映了C随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢.由t∈[3,8]的图象可知,总产量C没有变化,即第三年后停产,所以②③正确.
答案:②③
三、解答题
7.(16分)画出函数f(x)=与函数g(x)=x2-2的图象,并比较两者在[0,+∞)上的大小关系.
【解析】函数f(x)与g(x)的图象如下.
根据图象易得:当0≤x<4时,f(x)>g(x);
当x=4时,f(x)=g(x);
当x>4时,f(x)<g(x).
(15分钟·30分)
1.(4分)下列函数在(0,+∞)上单调递减的是 ( )
A.f(x)=ln x B.f(x)=
C.f(x)= D.f(x)=-
【解析】选B.根据题意,依次分析选项:
对于A,f(x)=ln x为对数函数,其底数为e>1,
在(0,+∞)上单调递增,不符合题意;
对于B,f(x)=e-x=,为指数函数,其底数为,在(0,+∞)上单调递减,符合题意:
对于C,f(x)==,为幂函数,在(0,+∞)上单调递增,不符合题意.
对于D,f(x)=-,在(0,+∞)上单调递增,不符合题意.
2.(4分)在是某种金属材料的耐高温实验中,温度y(℃)随着时间t(min)变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示,现给出下列说法:
①前5 min温度增加越来越快;②前5 min温度增加越来越慢;③5 min后温度保持匀速增加;④5 min后温度保持不变.
其中说法正确的是 ( )
A.①④ B.②④
C.②③ D.①③
【解析】选C.前5 min,温度y随x增加而增加,增长速度越来越慢;5 min后,温度y随x的变化曲线是直线,即温度匀速增加,所以②③正确.
3. (4分)如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y与净化时间t(月)的近似函数关系:y=at(t≥0,a>0且a≠1)的图象.有以下叙述:
①第4个月时,剩留量就会低于;
②每月减少的有害物质量都相等;
③若剩留量为,,时,所经过的时间分别是t1,t2,t3,则t1+t2=t3.
其中所有正确叙述的序号是________.
【解析】根据题意,函数的图象经过点,
故函数为y=,令t=4时,y=<,故①正确;令t=1时,y=,减少,当t=2时,y=,减少,每月减少有害物质质量不相等,故②不正确;分别令y=,,,
解得t1=lo,t2=lo,t3=lo,t1+t2=t3,故③正确.
答案:①③
4.(4分)某地西红柿从2月1日起开始上市,通过市场调查,得到西红柿种植成本Q(单位:元/100 kg)与上市时间t(单位:天)的数据如下表:
时间t
60
100
180
种植成本Q
116
84
116
根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系.
Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=a·bt,Q=a·logbt.
利用你选取的函数,求得:
(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是________.
(2)最低种植成本是________(元/100 kg).
【解析】由提供的数据知,描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系函数不可能是常数函数,也不是单调函数,而函数Q=at+b,Q=a·bt,Q=a·logbt在a≠0时,均为单调函数,这与表格提供的数据不吻合,故选取二次函数Q=at2+bt+c进行描述,
将表格所提供的三组数据(60,116),(100,84),(180,116)分别代入Q可得,
解得a=,b=-,c=224,
所以Q=t2-t+224,
(1)Q=t2-t+224的对称轴为t=120,开口向上,在对称轴处即t=120天时函数取最小值.
(2)当t=120时,
Q=×1202-×120+224=80.
答案:(1)120 (2)80
5.(14分)2018年1月8日,中共中央、国务院隆重举行国家科学技术奖励大会,在科技界引发热烈反响,自主创新正成为引领经济社会发展的强劲动力.某科研单位在研发新产品的过程中发现了一种新材料,由大数据测得该产品的性能指标值y与这种新材料的含量x(单位:克)的关系为:当0≤x<6时,y是x的二次函数;当x≥6时,y=.
测得数据如表(部分)
x(单位:克)
0
1
2
9
…
y
0
3
…
(1)求y关于x的函数关系式y=f(x).
(2)求函数f(x)的最大值.
【解析】(1)当0≤x<6时,由题意,
设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
由表格数据可得
解得
所以,当0≤x<6时,f(x)=-x2+2x,
当x≥6时,f(x)=.由表格数据可得
f(9)==,解得t=7.
所以当x≥6时,f(x)=,
综上,f(x)=
(2)当0≤x<6时,f(x)=-x2+2x=-(x-4)2+4,
所以当x=4时,函数f(x)最大值为4;
当x≥6时,f(x)=单调递减,
所以f(x)的最大值为f(6)==3,
因为4>3,所以函数f(x)的最大值为4.
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