2019_2020学年新教材高中数学第五章三角函数5.5.1两角和与差的正弦余弦和正切公式第3课时两角和与差的正弦余弦正切公式习题课应用案巩固提升新人教A版必修第一册.doc

第3课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（习题课）
[A　基础达标]
1．sin 20°cos 40°＋cos 20°sin 140°＝(　　)
A．－　　　　　　　　　 B.
C．－ D.
解析：选B.sin 20°cos 40°＋cos 20°sin 140°＝sin 20°cos 40°＋cos 20°sin 40°＝sin(20°＋40°)＝sin 60°＝.
2.＝(　　)
A. B.
C．1 D.
解析：选A.＝＝tan 30°＝.
3．已知在△ABC中，cos＝－，那么sin
＋cos A＝(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析：选A.因为cos ＝
sin ＝sin
＝－，所以sin ＋cos A＝
sin A＋cos A
＝
＝sin ＝－.
4.sin＋sin的化简结果是(　　)
A．2sin B．2sin
C．2sin D．2sin
解析：选A.sin ＋sin
＝sin ＋sin 　
＝cos＋sin
＝2
＝2
＝2sin
＝2sin.
5．(2019·浙江诸暨中学段考)若α＋β＝，则(1－tan α)·(1－tan β)等于(　　)
A. B．2
C．1＋ D．2(tan A＋tan B)
解析：选B.由题可得tan(α＋β)＝＝－1，所以tan α＋tan β＝－1＋tan αtan β，即2＝1－tan α－tan β＋tan αtan β＝(1－tan α)(1－tan β)．
6．已知tan(α＋β)＝3，tan α＝，那么tan β＝________．
解析：因为tan α＝，又tan(α＋β)＝＝3，
所以tan β＝.
答案：
7．已知cos＝－，则cos x＋cos＝________．　
解析：cos x＋cos＝cos x＋cos x
＋sin x＝cos x＋sin x＝
＝cos＝×＝－1.
答案：－1
8．若tan α，tan β是方程x2＋5x＋6＝0的两个根，且α，β∈，则α＋β＝________．
解析：由tan α，tan β是方程x2＋5x＋6＝0的两个根得tan α＋tan β＝－5，tan αtan β＝6，则两根同号，且都为负数，故α，β∈，所以α＋β∈(－π，0)，又tan(α＋β)＝＝1，故α＋β＝－.
答案：－
9．化简下列各式：
(1)sin＋2sin－cos；
(2)－2cos(α＋β)．
解：(1)原式＝sin xcos ＋cos xsin ＋2sin xcos －2cos xsin －cos cos x－sin sin x＝sin x＋cos x＋sin x－cos x＋cos x－sin x＝sin x＋cos x
＝0.
(2)原式
＝
＝
＝＝.
10．(2019·洛阳质检)已知tan＝2，tan(α－β)＝，α∈，β∈.
(1)求tan α的值；
(2)求2α－β的值．
解：(1)tan＝＝2，
得tan α＝.
(2)因为tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]
＝＝1，
又α∈，β∈，
得2α－β∈，
所以2α－β＝.
[B　能力提升]
11.＝________．
解析：因为tan 18°＋tan 42°＋tan 120°
＝tan 60°(1－tan 18°tan 42°)＋tan 120°
＝－tan 60°tan 18°tan 42°，
所以原式＝－1.
答案：－1
12．已知α，β均为锐角，且tan β＝，则tan(α＋β)＝________．
解析：tan β＝＝＝tan，
因为－α，β∈且y＝tan x在上是单调函数，
所以β＝－α，所以α＋β＝，
所以tan(α＋β)＝tan＝1.
答案：1
13．(2019·安庆检测)已知tan(π＋α)＝－，tan(α＋β)＝.
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求tan β的值．
解：(1)因为tan(π＋α)＝－，
所以tan α＝－，
因为tan(α＋β)＝
＝＝
＝
＝＝，
所以tan(α＋β)＝＝.
(2)因为tan β＝tan [(α＋β)－α]
＝，
所以tan β＝＝.
14．已知tan α，tan β是方程x2＋p(x＋1)＋1＝0的两根，α＋β∈(0，π)．
(1)求α＋β；
(2)若cos(θ－α－β)＝，θ∈，求sin θ.
解：(1)由根与系数的关系得tan α＋tan β＝－p，tan α·tan β＝p＋1，所以tan(α＋β)＝＝＝1，
因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.
(2)cos(θ－α－β)＝cos＝，由θ∈，得θ－∈，所以sin＝.
sin θ＝sin
＝sincos ＋cos sin
＝×＝.
[C　拓展探究]
15．已知函数f(t)＝，g(x)＝cos x·f(sin x)＋sin x·f(cos x)，x∈.
(1)将函数g(x)化简成Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，φ∈[0，2π))的形式；
(2)求函数g(x)的值域．
解：(1)g(x)＝cos x·＋sin x·
＝cos x·＋sin x·
＝cos x·＋sin x·，
因为x∈，
所以|cos x|＝－cos x，|sin x|＝－sin x，
所以g(x)＝cos x·＋sin x·＝sin x＋cos x－2
＝sin－2.
(2)由π<x≤，得<x＋≤.
因为sin t在上为减函数，在上为增函数，
又sin <sin ，
所以sin ≤sin<sin ，
即当x∈时，
－1≤sin<－，所以－－2≤sin－2<－3，故g(x)的值域为[－－2，－3)．

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