2019_2020学年新教材高中数学第5章三角函数5.5三角恒等变换5.5.1两角和与差的正弦余弦和正切公式第2课时两角和与差的正弦余弦正切公式课后课时精练新人教A版必修第一册.doc

第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式

A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．化简cos(x＋y)siny－sin(x＋y)cosy等于(　　)
A．sin(x＋2y) B．－sin(x＋2y)
C．sinx D．－sinx
答案　D
解析　cos(x＋y)siny－sin(x＋y)cosy＝sin[y－(x＋y)]＝－sinx.
2．已知cos＋sinα＝，则sin的值为(　　)
A．－ B. C．－ D.
答案　C
解析　cos＋sinα＝cosα＋sinα＋sinα
＝cosα＋sinα＝
＝sin＝，
∴sin＝，
∴sin＝－sin＝－.
3．设tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为(　　)
A．－3 B．－1 C．1 D．3
答案　A
解析　由根与系数的关系可知tanα＋tanβ＝3，tanαtanβ＝2，tan(α＋β)＝＝＝－3.
4．函数f(x)＝sinx－cos的值域为(　　)
A．[－2,2] B．[－，]
C．[－1,1] D.
答案　B
解析　因为f(x)＝sinx－cos
＝sinx－cosxcos＋sinxsin
＝sinx－cosx＋sinx
＝
＝sin(x∈R)，
所以f(x)的值域为[－，]．
5．△ABC中，若0<tanAtanB<1，则△ABC是(　　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．无法确定
答案　B
解析　∵0<tanAtanB<1，
∴tanA>0，tanB>0，
tan(A＋B)＝－tanC＝>0.
∴tanC<0，又∵0<C<π，∴<C<π.
二、填空题
6.的值为________．
答案　2－
解析　原式＝＝
＝tan15°＝tan(45°－30°)＝＝
＝2－.
7．若点P(－3,4)在角α的终边上，点Q(－1，－2)在角β的终边上，则sin(α－β)＝________，cos(α＋β)＝________.
答案　－　
解析　因为点P(－3,4)在角α的终边上，所以r＝5，
故sinα＝，cosα＝－.
又因为点Q(－1，－2)在角β的终边上，所以r′＝，
故sinβ＝－，cosβ＝－，
则sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝×－×＝－.
cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝.
8．已知tan＝，tan＝－，则tan的值等于________．
答案　
解析　tan＝tan
＝＝＝.
三、解答题
9．化简下列各式：
(1)sin＋2sin－cos；
(2)－2cos(α＋β)．
解　(1)原式＝sinxcos＋cosxsin＋2sinxcos－2cosxsin－coscosx－sinsinx
＝sinx＋cosx＋sinx－cosx＋cosx－sinx
＝sinx＋cosx＝0.
(2)原式＝
＝
＝
＝.
10．已知tan(π＋α)＝－，tan(α＋β)＝.
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求tanβ的值．
解　(1)因为tan(π＋α)＝－，所以tanα＝－，
因为tan(α＋β)＝＝，
所以tan(α＋β)＝＝.
(2)因为tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝，
所以tanβ＝＝.
B级：“四能”提升训练
1．(1)已知sinα＝，cosβ＝－，且α为第一象限角，β为第二象限角，求sin(α＋β)和sin(α－β)的值；
(2)求值：sin＋cos；
(3)在△ABC中，tanB＋tanC＋tanBtanC＝，且tanA＋tanB＋1＝tanAtanB，判断△ABC的形状．
解　(1)(直接法)因为α为第一象限角，β为第二象限角，
sinα＝，cosβ＝－，所以cosα＝，sinβ＝，
∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝×＋×＝，
sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝×－×＝－.
(2)(常值代换法)
原式＝2
＝2
＝2sin＝2sin＝.
(3)tanA＝tan[180°－(B＋C)]
＝－tan(B＋C)＝
＝＝－，
而0°<A<180°，∴A＝120°.
tanC＝tan[180°－(A＋B)]
＝－tan(A＋B)＝
＝＝，
而0°<C<180°，∴C＝30°，
∴B＝180°－120°－30°＝30°，
∴△ABC是顶角为120°的等腰三角形．
2．是否存在锐角α和β，使(1)α＋2β＝；(2)tan·tanβ＝2－同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由．
解　若α＋2β＝，则＋β＝，
∴tan＝＝.
又∵tantanβ＝2－，∴tan＋tanβ＝3－，
∴tan，tanβ是一元二次方程x2－(3－)x＋2－＝0的两根，
∴x1＝1，x2＝2－.
∵若tan＝1，但由于α是锐角，即0<<，故这是不可能的，
∴tan＝2－，tanβ＝1.
∵0<β<，∴β＝，α＝－2β＝.
∴存在这样的锐角α＝，β＝.

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