2019_2020学年新教材高中数学第五章三角函数5.5.1两角和与差的正弦余弦和正切公式第2课时两角和与差的正弦余弦正切公式应用案巩固提升新人教A版必修第一册.doc

第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
[A　基础达标]
1．下面各式中，不正确的是(　　)
A．sin＝sin cos ＋cos
B．cos ＝sin －cos cos
C．cos＝cos cos ＋
D．cos ＝cos －cos
解析：选D.因为sin ＝，所以A正确；因为cos ＝－cos ＝－cos ，所以B正确；cos ＝
cos ，所以C正确；
因为cos ＝cos ≠cos －cos ，所以D不正确．
2．已知角α的终边经过点(－3，4)，则sin的值为(　　)
A.　　　　　　　　　 B．－
C. D．－
解析：选C.因为角α的终边经过点(－3，4)，则sin α＝，cos α＝－，
所以sin ＝sin αcos ＋
cos αsin ＝×－×＝.
3．已知cos＝2cos(π－α)，则tan＝(　　)
A．－4 B．4
C．－ D.
解析：选C.因为cos＝2cos(π－α)，
所以－sin α＝－2cos α⇒tan α＝2，
所以tan＝＝－.
4．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，求tan 2α的值为(　　)
A．－ B.
C. D．－
解析：选A.tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝＝＝＝－.
5．在△ABC中，cos A＝，cos B＝，则△ABC的形状是(　　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
解析：选B.由题意得sin A＝，sin B＝，所以cos C＝cos(π－A－B)＝－cos(A＋B)＝－cos Acos B＋sin Asin B＝－×＋×＝－＝－＝－<0，所以C是钝角，故△ABC是钝角三角形．
6．cos 105°＋sin 195°的值为________．
解析：cos 105°＋sin 195°＝cos 105°＋sin(90°＋105°)　
＝2cos 105°＝2cos(135°－30°)
＝2(cos 135°cos 30°＋sin 135°sin 30°)
＝2
＝.
答案：
7．已知cos＝sin，则tan α＝________．
解析：cos＝cos αcos －sin αsin ＝cos α－sin α，sin＝sin αcos －cos αsin ＝sin α－cos α，所以sin α＝cos α，故tan α＝1.
答案：1
8．已知tan α＝，tan(β－α)＝－2，且<β<π，求β.
解：tan β＝tan[α＋(β－α)]
＝＝＝－1.
又因为<β<π，所以β＝.
9．已知α∈，β∈，且cos(α－β)＝，sin β＝－，求sin α.
解：因为α∈，β∈，
所以α－β∈(0，π)．因为cos(α－β)＝，
所以sin(α－β)＝.
因为β∈，sin β＝－，
所以cos β＝.
所以sin α＝sin[(α－β)＋β]
＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β
＝×＋×＝.
[B　能力提升]
10．下列四个式子中是恒等式的为(　　)
A．sin(α＋β)＝sin α＋sin β
B．cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin β
C．tan(α－β)＝
D．sin(α＋β)sin(α－β)＝sin2α－sin2β
解析：选D.sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，故A错误；
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，故B错误；
tan(α－β)＝，故C错误；
sin(α＋β)sin(α－β)＝(sin αcos β＋cos αsin β)·(sin αcos β－cos αsin β)＝sin2αcos2β－cos2αsin2β＝(sin2αcos2β＋sin2αsin2β)－(sin2αsin2β＋cos2αsin2β)＝sin2α－sin2β，故D正确．
11.＝________．
解析：原式＝＝＝tan 15°＝tan(45°－30°)＝＝2－.
答案：2－
12．已知函数f(x)＝cos，x∈R.
(1)求f的值；
(2)若cos θ＝，θ∈，求f.
解：(1)f＝cos
＝cos＝1.
(2)因为cos θ＝，θ∈，
sin θ＝－＝－，
所以f＝cos
＝
＝××＋××＝－.
13．已知cos α＝，sin(α－β)＝，且α，β∈.
求：(1)cos(2α－β)的值；
(2)β的值．
解：(1)因为cos α＝，且α∈，
所以sin α＝，
因为α，β∈，
所以－＜α－β＜，
所以cos(α－β)＝＝，
所以cos(2α－β)＝cos[(α－β)＋α]
＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β)
＝×－×＝.
(2)cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝×＋×＝，
又因为β∈，
所以β＝.
[C　拓展探究]
14．在△ABC中，tan B＋tan C＋tan Btan C＝，且tan A＋tan B＋1＝tan Atan B，试判断△ABC的形状．
解：tan A＝tan[π－(B＋C)]＝－tan(B＋C)＝＝＝－，而0°<A<180°，所以A＝120°.
tan C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝＝＝，而0°<C<180°，所以C＝30°.
所以B＝180°－120°－30°＝30°.
所以△ABC是顶角为120°的等腰三角形．

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