资源描述
第1课时 两角差的余弦公式
[A 基础达标]
1．cos 20°＝( )
A．cos 30°cos 10°－sin 30°sin 10°
B．cos 30°cos 10°＋sin 30°sin 10°
C．sin 30°cos 10°－sin 10°cos 30°
D．cos 30°cos 10°－sin 30°cos 10°
解析：选B.cos 20°＝cos(30°－10°)＝cos 30°cos 10°＋sin 30°sin 10°.
2．(2019·浙江金华一中期末考试)若cos 5xcos(－2x)－sin(－5x)sin 2x＝0，则x的值可能是( )
A. B.
C. D.
解析：选B.因为cos 5xcos(－2x)－sin(－5x)sin 2x＝cos 5xcos 2x＋sin 5xsin 2x＝cos(5x－2x)＝cos 3x＝0，所以3x＝＋kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z，所以当k＝0时，x＝.
3．(2019·北京海淀科大附中期中测试)若cos(α－β)＝，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：选A.原式＝2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝2＋2cos(α－β)＝2＋2×＝.
4．若sin αsin β＝1，则cos(α－β)＝( )
A．0 B．1
C．±1 D．－1
解析：选B.由sin αsin β＝1可知，sin α＝1，sin β＝1或sin α＝－1，sin β＝－1，此时均有cos α＝cos β＝0，从而cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝0＋1＝1.
5．已知锐角α，β满足cos α＝，cos(α＋β)＝－，则cos(2π－β)的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析：选A.因为α，β为锐角，cos α＝，cos(α＋β)＝－，
所以sin α＝，sin(α＋β)＝，
所以cos(2π－β)＝cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝×＋×＝.
6．cos 2 072°cos 212°＋sin 2 072°sin 212°＝________．
解析：cos 2 072°cos 212°＋sin 2 072°sin 212°
＝cos(2 072°－212°)＝cos 1 860°＝cos 60°＝.
答案：
7．(2019·济南检测)已知cos＝，则cos α＋sin α的值为________．
解析：因为cos＝coscos α＋sinsin α＝cos α＋sin α＝，
所以cos α＋sin α＝.
答案：
8．在△ABC中，sin A＝，cos B＝－，则cos(A－B)＝________．
解析：因为cos B＝－，且0<B<π，所以<B<π，所以sin B＝＝＝，且0<A<，所以cos A＝＝＝，所以cos(A－B)＝cos Acos B＋sin Asin B＝×＋×＝－.
答案：－
9．求下列各式的值．
(1)cos 105°；
(2)cos 75°cos 15°－sin 255°sin 15°.
解：(1)原式＝cos(150°－45°)
＝cos 150°cos 45°＋sin 150°sin 45°
＝－×＋×＝.
(2)原式＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°
＝cos(75°－15°)
＝cos 60°＝.
10．若x∈，且sin x＝，求2cos＋2cos x的值．
解：因为x∈，sin x＝，
所以cos x＝－.
所以2cos＋2cos x
＝2＋2cos x
＝2＋2cos x
＝sin x＋cos x
＝－＝.
[B 能力提升]
11．已知α，β，γ∈，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则β－α的值为________．
解析：由已知，得sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β.两式分别平方相加，得(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝1.
所以－2cos(β－α)＝－1，所以cos(β－α)＝，所以β－α＝±.
因为sin γ＝sin β－sin α>0，所以β>α，
所以β－α＝.
答案：
12．化简：＝________．
解析：原式＝
＝
＝
＝＝.
答案：
13．已知cos＋sin α＝，求cos的值．
解：因为cos＋sin α＝cos α＋sin α＝，
所以cos α＋sin α＝，
所以cos＝cos α＋sin α＝.
14．已知A(cos α，sin α)，B(cos β，sin β)，其中α，β为锐角，且|AB|＝.
(1)求cos(α－β)的值；
(2)若cos α＝，求cos β的值．
解：(1)由|AB|＝，
得
＝，
所以2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝，
所以cos(α－β)＝.
(2)因为cos α＝，
cos(α－β)＝，α，β为锐角，
所以sin α＝，sin(α－β)＝±.
当sin(α－β)＝时，
cos β＝cos[α－(α－β)]＝
cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝.
当sin(α－β)＝－时，
cos β＝cos[α－(α－β)]＝
cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝0.
因为β为锐角，所以cos β＝.
[C 拓展探究]
15．已知cos(α－β)＝－，cos(α＋β)＝，且α－β∈，α＋β∈，求角β的值．
解：由α－β∈，cos(α－β)＝－，
可知sin(α－β)＝，
又因为α＋β∈，cos(α＋β)＝，
所以sin(α＋β)＝－，
cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
＝×＋×＝－1.
因为α－β∈，α＋β∈，
所以2β∈，所以2β＝π，故β＝.
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