2019_2020学年新教材高中数学第5章三角函数5.5三角恒等变换5.5.1两角和与差的正弦余弦和正切公式第3课时二倍角的正弦余弦正切公式课后课时精练新人教A版必修第一册.doc

第3课时　二倍角的正弦、余弦、正切公式

A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．若sin＝，则cos的值为(　　)
A．－ B．－ C. D.
答案　B
解析　cos＝－cos＝－cos＝－＝2sin2－1＝－.
2．若＝，则tan2α＝(　　)
A．－ B. C．－ D.
答案　B
解析　∵＝，∴2sinα＋2cosα＝sinα－cosα，整理得sinα＝－3cosα，即＝－3＝tanα，∴tan2α＝＝.故选B.
3.·＝(　　)
A．tan2α B．tanα C．1 D.
答案　A
解析　原式＝·＝tan2α.
4．在△ABC中，若sinBsinC＝cos2，则△ABC是(　　)
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
答案　B
解析　由sinBsinC＝cos2得sinBsinC＝，
∴2sinBsinC＝1＋cosA，
∴2sinBsinC＝1＋cos[π－(B＋C)]＝1－cos(B＋C)，
∴2sinBsinC＝1－cosBcosC＋sinBsinC，
∴cosBcosC＋sinBsinC＝1，∴cos(B－C)＝1，
又∵－180°<B－C<180°，∴B－C＝0°，∴B＝C，
∴△ABC是等腰三角形．
5．若△ABC的内角A满足sin2A＝，则sinA＋cosA的值为(　　)
A. B．－ C. D．－
答案　A
解析　∵sin2A＝2sinAcosA＝，∴A为锐角，
且1＋2sinAcosA＝，
即sin2A＋2sinAcosA＋cos2A＝.
∴|sinA＋cosA|＝.
又∵A为锐角，∴sinA＋cosA＝，故选A.
二、填空题
6．已知α为第二象限的角，sinα＝，则tan2α＝________.
答案　－
解析　由sinα＝，且α为第二象限的角得cosα＝－，得tanα＝－，tan2α＝－.
7．等腰三角形一个底角的余弦值为，那么这个三角形顶角的正弦值为________．
答案　
解析　设A是等腰△ABC的顶角，则cosB＝，
sinB＝＝＝.
所以sinA＝sin(180°－2B)＝sin2B＝2sinBcosB＝2××＝.
8．已知角α，β为锐角，且1－cos2α＝sinαcosα，tan(β－α)＝，则β＝________.
答案　
解析　由1－cos2α＝sinαcosα，得1－(1－2sin2α)＝sinαcosα，即2sin2α＝sinαcosα.
∵α为锐角，∴sinα≠0，∴2sinα＝cosα，即tanα＝.
解法一：由tan(β－α)＝＝＝，
得tanβ＝1.
∵β为锐角，∴β＝.
解法二：tanβ＝tan(β－α＋α)＝
＝＝1.
∵β为锐角，∴β＝.
三、解答题
9．已知角α在第一象限且cosα＝，求
的值．
解　∵cosα＝且α在第一象限，∴sinα＝.
∴cos2α＝cos2α－sin2α＝－，
sin2α＝2sinαcosα＝，
原式＝
＝＝.
10．已知sin－2cos＝0.
(1)求tanx的值；
(2)求的值．
解　(1)由sin－2cos＝0，
知cos≠0，
∴tan＝2，
∴tanx＝＝＝－.
(2)由(1)，知tanx＝－，
∴
＝
＝
＝
＝×
＝×
＝.
B级：“四能”提升训练
1．求函数f(x)＝5cos2x＋sin2x－4sinxcosx，x∈的最小值，并求其单调递减区间．
解　f(x)＝5·＋·－2sin2x
＝3＋2cos2x－2sin2x
＝3＋4
＝3＋4
＝3＋4sin＝3－4sin.
因为≤x≤，
所以≤2x－≤.
所以sin∈.
所以当2x－＝，即x＝时，
f(x)取得最小值3－2.
因为y＝sin在上单调递增，
所以f(x)在上单调递减．
2．已知函数f(x)＝cos＋sin2x－cos2x＋2sinxcosx.
(1)化简f(x)；
(2)若f(α)＝，2α是第一象限角，求sin2α.
解　(1)f(x)＝cos2x－sin2x－cos2x＋sin2x＝sin2x－cos2x＝sin.
(2)f(α)＝sin＝，2α是第一象限角，
即2kπ＜2α＜＋2kπ(k∈Z)，
∴2kπ－＜2α－＜＋2kπ，k∈Z，
∴cos＝，
∴sin2α＝sin
＝sincos＋cossin
＝×＋×＝.

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