2019_2020学年新教材高中数学第五章三角函数5.5.1两角和与差的正弦余弦和正切公式第4课时二倍角的正弦余弦正切公式应用案巩固提升新人教A版必修第一册.doc

第4课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
[A　基础达标]
1．已知sin＝，则cos的值为(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选D.因为sin＝，
所以cos＝cos
＝1－2sin2＝.
2．已知sin α＝，则cos4α－sin4α的值为(　　)
A．－ B．－
C. D.
解析：选D.cos4α－sin4α＝(cos2α＋sin2α)·(cos2α－sin2α)＝cos 2α＝1－2sin2α＝1－＝.
3．设－3π<α<－，化简 的结果是(　　)
A．sin B．cos
C．－cos D．－sin
解析：选C.因为－3π<α<－，－<<－，所以＝＝＝－cos.
4．已知cos＝－，则sin(－3π＋2α)＝(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：选A.易得cos＝
2cos2－1＝2×－1＝－.
又cos＝cos＝sin 2α，所以sin(－3π＋2α)＝sin(π＋2α)＝－sin 2α＝－＝.故选A.
5．化简·cos 28°的结果为(　　)
A. B．sin 28°
C．2sin 28° D．sin 14°cos 28°
解析：选A.·cos 28°＝×·cos 28°＝tan 28°·cos 28°＝，故选A.
6．已知sin α－2cos α＝0，则tan 2α＝________．
解析：由sin α－2cos α＝0，
得tan α＝＝2，
tan 2α＝＝＝－.
答案：－
7．已知tan α＝－，则＝________．
解析：＝
＝＝tan α－＝－.
答案：－
8.＝________．
解析：
＝
＝＝1.
答案：1
9．已知sin 2α＝，<α<，求sin 4α，cos 4α的值．
解：由<α<，得<2α<π.
因为sin 2α＝，
所以cos 2α＝－
＝－＝－.
于是sin 4α＝2sin 2αcos 2α＝2××＝－；
cos 4α＝1－2sin22α＝1－2×＝.
10．已知α为第二象限角，且sin α＝，求的值．
解：原式＝
＝.
因为α为第二象限角，且sin α＝，
所以sin α＋cos α≠0，cos α＝－，
所以原式＝＝－.
[B　能力提升]
11．已知tan x＝2，则tan等于(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：选C.tan
＝tan＝
＝＝－
＝－＝＝.
12．已知θ∈，＋＝2，则sin＝________．　
解析：＋＝2⇒＝2
⇒sin θ＋cos θ＝2sin θcos θ⇒1＋sin 2θ＝2sin22θ，
因为θ∈，所以2θ∈(π，2π)，
所以sin 2θ＝－，所以sin θ＋cos θ<0，
所以θ∈，所以2θ∈，
所以cos 2θ＝，所以sin＝sin 2θ·cos＋sincos 2θ＝.
答案：
13．已知cos＝，≤α＜，求cos(2α＋)的值．
解：因为≤α＜，
所以≤α＋＜.
因为cos>0，所以<α＋<.
所以sin
＝－
＝－＝－.
所以cos 2α＝sin
＝2sincos
＝2××＝－，
sin 2α＝－cos
＝1－2cos2
＝1－2×＝.
所以cos＝cos 2α－sin 2α
＝×＝－.
14．已知sin －2cos ＝0.
(1)求tan x的值；
(2)求的值．
解：(1)由sin －2cos ＝0，
知cos ≠0，所以tan ＝2，
所以tan x＝＝＝－.
(2)由(1)知tan x＝－，
所以
＝
＝
＝
＝×
＝×＝.
[C　拓展探究]
15．如图所示，在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿由点B到点E的方向前进30 m至点C，测得顶端A的仰角为2θ，再沿刚才的方向继续前进10 m 到点D，测得顶端A的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE的高．

解：因为∠ACD＝θ＋∠BAC＝2θ，
所以∠BAC＝θ，所以AC＝BC＝30 m.
又∠ADE＝2θ＋∠CAD＝4θ，
所以∠CAD＝2θ，
所以AD＝CD＝10 m.
所以在Rt△ADE中，AE＝AD·sin 4θ＝10sin 4θ(m)，
在Rt△ACE中，AE＝AC·sin 2θ
＝30sin 2θ(m)，
所以10sin 4θ＝30sin 2θ，
即20sin 2θcos 2θ＝30sin 2θ，
所以cos 2θ＝，
又2θ∈，所以2θ＝，
所以θ＝，
所以AE＝30sin ＝15(m)，
所以θ＝，建筑物AE的高为15 m.

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