2019_2020学年新教材高中数学第5章三角函数5.5三角恒等变换5.5.1两角和与差的正弦余弦和正切公式第1课时两角差的余弦公式课后课时精练新人教A版必修第一册.doc

第1课时 两角差的余弦公式

A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．cos20°＝(　　)
A．cos30°cos10°－sin30°sin10°
B．cos30°cos10°＋sin30°sin10°
C．sin30°cos10°－sin10°cos30°
D．cos30°cos10°－sin30°cos10°
答案　B
解析　cos20°＝cos(30°－10°)＝cos30°cos10°＋sin30°·sin10°.
2.的值是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　原式＝
＝
＝＝.
3．满足cosαcosβ＝－sinαsinβ的一组α，β的值是(　　)
A．α＝，β＝ B．α＝，β＝
C．α＝，β＝ D．α＝，β＝
答案　B
解析　∵cosαcosβ＝－sinαsinβ，∴cosαcosβ＋sinαsinβ＝，即cos(α－β)＝，经验证可知选项B正确．
4．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则cos(A－B)的值是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴斜边AB＝5.所以sinA＝＝，cosA＝＝，sinB＝＝，cosB＝＝.∴cos(A－B)＝cosAcosB＋sinAsinB＝×＋×＝.
5．已知x∈R，sinx－cosx＝m，则m的取值范围为(　　)
A．－1≤m≤1 B．－≤m≤
C．－1≤m≤ D．－≤m≤1
答案　B
解析　sinx－cosx＝
＝＝cos，
因为x∈R，所以x－∈R，
所以－1≤cos≤1.
所以－≤m≤ .故选B.
二、填空题
6．化简－cos(－50°)cos129°＋cos400°cos39°＝________.
答案　cos1°
解析　－cos(－50°)cos129°＋cos400°cos39°
＝－sin40°(－sin39°)＋cos40°cos39°＝cos(40°－39°)
＝cos1°.
7．已知sinα＋sinβ＋sinγ＝0和cosα＋cosβ＋cosγ＝0，则cos(α－β)的值是________．
答案　－
解析　由sinα＋sinβ＋sinγ＝0，得sinα＋sinβ＝－sinγ.①
同理由cosα＋cosβ＋cosγ＝0，得cosα＋cosβ＝－cosγ.②
①2＋②2得cos(α－β)＝－.
8．若cos(α－β)＝，cos2α＝，并且α，β均为锐角，且α＜β，则α＋β的值为________．
答案　
解析　∵0＜α＜β＜，∴－＜α－β＜0,0＜2α＜π.
由cos(α－β)＝，得sin(α－β)＝－.
由cos2α＝，得sin2α＝.
∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]
＝cos2αcos(α－β)＋sin2αsin(α－β)
＝×＋×＝－.
又∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.
三、解答题
9．已知cos(α－β)＝－，cos(α＋β)＝，且α－β∈，α＋β∈，求角β的值．
解　由α－β∈，且cos(α－β)＝－，得
sin(α－β)＝.
由α＋β∈，且cos(α＋β)＝，得
sin(α＋β)＝－，
cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
＝×＋×＝－1.
又∵α－β∈，α＋β∈，
∴2β∈，∴2β＝π，则β＝.
10．已知A(cosα，sinα)，B(cosβ，sinβ)，其中α，β为锐角，且|AB|＝.
(1)求cos(α－β)的值；
(2)若cosα＝，求cosβ的值．
解　(1)由|AB|＝，得
＝，
∴2－2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝，∴cos(α－β)＝.
(2)∵cosα＝，∴sinα＝，sin(α－β)＝±.
当sin(α－β)＝时，
cosβ＝cos[α－(α－β)]
＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝.
当sin(α－β)＝－时，
cosβ＝cos[α－(α－β)]
＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝0.
∵β为锐角，∴cosβ＝.
B级：“四能”提升训练
1．已知cos＝－，sin＝，且α∈，β∈，求cos的值．
解　∵<α<π，0<β<，
∴<<，0<<，<α＋β<.
∴<α－<π，－<－β<，<<.
又cos＝－，sin＝，
∴sin＝，cos＝.
∴cos＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝－＋＝.
2．已知函数f(x)＝2cos(其中ω>0，x∈R)的最小正周期为10π.
(1)求ω的值；
(2)设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α－β)的值．
解　(1)由于函数f(x)的最小正周期为10π，
所以10π＝，所以ω＝.
(2)因为f＝－，
所以2cos＝2cos＝－.
所以sinα＝.
又因为f＝，
所以2cos＝2cosβ＝.
所以cosβ＝.
因为α，β∈，所以cosα＝，sinβ＝，
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
＝×＋×＝.

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