资源描述
4.2.3 对数函数的性质与图像
课后篇巩固提升
夯实基础
1.(多选)给定函数:①y=x12,②y=log12(x+1),③y=|x-1|,④y=2x+1,其中在区间(0,1)上是减函数的序号有( )
A.① B.② C.③ D.④
答案BC
解析y=x12在(0,1)上为增函数;y=log12(x+1)在(0,1)内为减函数;y=|x-1|在(0,1)内为减函数;y=2x+1在(0,1)内为增函数.
2.已知函数f(x)=1-2x,若a=f(log30.8),b=f1213,c=f(2-12),则( )
A.a<b<c B.b<c<a
C.c<a<b D.a<c<b
答案B
解析f(x)=1-2x在定义域上为减函数,由1213>1212=2-12,得b<c,由log30.8<0<2-12,得c<a.所以b<c<a.
3.函数f(x)=2|log2x|的图像大致是( )
答案C
解析因为f(x)=2|log2x|=x,x≥1,1x,0<x<1,故选C.
4.若0<a<1,且函数f(x)=|logax|,则下列各式中成立的是( )
A.f(2)>f13>f14
B.f14>f(2)>f13
C.f13>f(2)>f14
D.f14>f13>f(2)
答案D
解析因为0<a<1,所以函数f(x)=|logax|在(0,1)内单调递减,所以f14>f13>f12.又f12=loga12=|-loga2|=|loga2|=f(2),从而有f14>f13>f(2).故选D.
5.以下四个数中最大的是( )
A.(ln 2)2 B.ln(ln 2)
C.ln 2 D.ln 2
答案D
解析∵0<ln2<1,∴ln(ln2)<0,(ln2)2<ln2.
又∵ln2=12ln2<ln2,
∴最大的数是ln2.
6.下面结论中,不正确的是( )
A.若a>1,则函数y=ax与y=logax在定义域内均为增函数
B.函数y=log3(x2+1)在(0,+∞)内为增函数
C.y=logax2与y=2logax表示同一函数
D.若0<a<1,0<m<n<1,则一定有logam>logan>0
答案C
解析对于A,若a>1,则函数y=ax与y=logax在定义域内均为增函数,正确;
对于B,因为y=log3t与t=x2+1在(0,+∞)内均为增函数,所以y=log3(x2+1)在(0,+∞)内为增函数,正确;
对于C,y=logax2的定义域为{x|x≠0},y=2logax的定义域为{x|x>0},两函数定义域不同,不表示同一函数,错误;
对于D,若0<a<1,0<m<n<1,则一定有logam>logan>0,正确.故选C.
7.已知函数f(x)=logax,g(x)=bx的图像经过点14,2,则ab的值为( )
A.1 B.2 C.4 D.8
答案D
解析因为函数f(x)=logax,g(x)=bx的图像都经过点14,2,所以loga14=2,b14=2,解得a=12,b=16,则ab=8.
8.设函数f(x)定义在实数集上,f(2-x)=f(x),且当x≥1时,f(x)=ln x,则有( )
A.f13<f(2)<f12
B.f12<f(2)<f13
C.f12<f13<f(2)
D.f(2)<f12<f13
答案C
解析由f(2-x)=f(x)得x=1是函数f(x)的图像的一条对称轴,又当x≥1时,f(x)=lnx单调递增,
∴当x<1时,函数单调递减.
∴f12<f13<f(0).
又由已知得f(2)=f(0),
∴f12<f13<f(2).
9.已知函数f(x)=log2x-2log2(x+c),其中c>0.若对于任意的x∈(0,+∞),都有f(x)≤1,则c的取值范围是( )
A.0,14 B.14,+∞
C.0,18 D.18,+∞
答案D
解析由f(x)≤1,得log2x-2log2(x+c)≤1,
整理得log2(x+c)≥log2x2,
所以x+c≥x2,即c≥-x+22x(x>0).
令x=t(t>0),则c≥-t2+22t.
令g(t)=-t2+22t,其图像对称轴为直线t=24.
所以g(t)max=g24=-242+22×24=18.
则c≥18.
所以,若对于任意的x∈(0,+∞),都有f(x)≤1,则c的取值范围是18,+∞.故选D.
10.若a>0,且a≠1,则函数f(x)=2loga(5x-10)+2恒过定点P的坐标是 .
答案115,2
解析令5x-10=1,解得x=115,
所以函数f(x)恒过定点115,2.
11.函数f(x)=ax+loga(x+1)(a>0,且a≠1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a,则a的值为 .
答案12
解析当0<a<1时,y=ax和y=loga(x+1)在[0,1]上都是减函数;
当a>1时,y=ax和y=loga(x+1)在[0,1]上都是增函数.
所以f(x)在[0,1]上的最大值与最小值之和为f(0)+f(1).
而f(0)+f(1)=(a0+loga1)+(a1+loga2)=a,
即1+loga2=0,故a=12.
12.函数f(x)的定义域是[-1,1],则函数f(log12x)的定义域为 .
答案12,2
解析由题得-1≤log12x≤1,所以log122≤log12x≤log1212,12≤x≤2,所以函数f(log12x)的定义域为12,2.
13.已知函数f(x)=log2(x-1)的定义域为A,函数g(x)=12x(-1≤x≤0)的值域为B.
(1)求A∩B;
(2)若C={y|y≤a-1},且B⊆C,求a的取值范围.
解(1)由题意知,x-1>0,log2(x-1)≥0,解得x≥2.
∴A={x|x≥2}.易知B={y|1≤y≤2},
∴A∩B={2}.
(2)由(1)知B={y|1≤y≤2},若要使B⊆C,则有a-1≥2.所以a≥3.
能力提升
1.作出函数y=|log2(x+1)|+2的图像.
解第一步:作y=log2x的图像,如图①.
第二步:将y=log2x的图像沿x轴向左平移1个单位长度,得y=log2(x+1)的图像,如图②.
第三步:将y=log2(x+1)在x轴下方的图像作关于x轴的对称变换,得y=|log2(x+1)|的图像,如图③.
第四步:将y=|log2(x+1)|的图像沿y轴方向向上平移2个单位长度,便得到所求函数的图像,如图④.
2.已知函数y=log2x4(log16x2-log22)(2≤x≤8).
(1)令t=log2x,求y关于t的函数关系式及t的范围;
(2)求该函数的值域.
解(1)因为2≤x≤8,所以t∈[1,3],
则log4x=12log2x=12t.
因为y=log2x4(log16x2-log22)(2≤x≤8),
所以y=log2x4log4x-12(2≤x≤8).
所以y=(t-2)12t-12=12(t-2)(t-1)=12t2-32t+1,t∈[1,3].
(2)由(1)知y=12t2-32t+1=12t-322-18,t∈[1,3].
当t∈1,32时,函数单调递减,
当t∈32,3时,函数单调递增,
所以当t=32时,ymin=-18.
因为当t=1时,y=0,当t=3时,y=12×32-32×3+1=1,所以ymax=1.
所以函数y=log2x4(log16x2-log22)(2≤x≤8)的值域为-18,1.
3.已知函数f(x)=loga1a-2x+1在区间[1,2]上的值恒为正,求实数a的取值范围.
解(1)当a>1时,只需1a-2x+1>1,
即1a-2x>0,∵1≤x≤2,∴1a-2>0,
即a<12,这与a>1矛盾.
(2)当0<a<1时,设g(x)=1a-2x+1(x∈[1,2]),只需0<g(x)<1.
①当a=12时,g(x)=1,f(x)=0,不合题意;
②当0<a<12时,1a-2>0,g(x)是增函数,只要g(1)>0,且g(2)<1,
解得12<a<1,与0<a<12矛盾;
③当12<a<1时,1a-2<0,g(x)是减函数,只要g(2)>0,且g(1)<1,解得12<a<23.
综上所述,a的取值范围是12,23.
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