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课时素养评价 四十
任 意 角
(20分钟·40分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.(多选题)下列四个角中,属于第二象限角的是 ( )
A.160° B. 480° C.-960° D.1 530°
【解析】选A、B、C.因为160°是第二象限角;480°=120°+360°是第二象限的角;-960°=-3×360°+120°是第二象限的角;1 530°=4×360°+90°不是第二象限的角.
2.下列说法中,正确的是 ( )
A.第二象限的角都是钝角
B.第二象限的角大于第一象限的角
C.若角α与角β不相等,则α与β的终边不可能重合
D.若角α与角β的终边在一条直线上,则α-β=k·180°(k∈Z)
【解析】选D.A错,例如495°=135°+360°是第二象限的角,但不是钝角;B错,α=135°是第二象限角,β=360°+45°是第一象限的角,但α<β;C错,α=
360°,β=720°,则α≠β,但二者终边重合;D正确,α与β的终边在一条直线上,则二者的终边重合或相差180°的整数倍,故α-β=k·180°(k∈Z).
3.将-885°化为α+k·360°(0°≤α<360°,k∈Z)的形式是 ( )
A.-165°+(-2)×360° B.195°+(-3)×360°
C.195°+(-2)×360° D.165°+(-3)×360°
【解析】选B.-885°=195°+(-3)×360°,0°≤195°<360°.
4.若α是第四象限角,则180°-α是 ( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
【解析】选C.可以给α赋一特殊值-60°,则180°-α=240°,故180°-α是第三象限角.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.已知-990°<α<-630°,且α与120°角的终边相同,则α=________.
【解析】因为α与120°角终边相同,故有α=k·360°+120°,k∈Z.又-990°<α<-630°,所以-990°<k·360°+120°<-630°,即-1 110°<k·360°<-750°.
所以k=-3,α=(-3)·360°+120°=-960°.
答案:-960°
6.如果将钟表拨快10分钟,则时针所转成的角度是________度,分针所转成的角度是________度.
【解析】由题意结合任意角的定义可知,钟表拨快10分钟,
则时针所转成的角度是-×=-5°,
分针所转成的角度是-×360°=-60°.
答案:-5 -60
三、解答题
7.(16分)在0°到360°范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判断它们是第几象限的角:
(1)-120°.(2)640°.
【解析】(1)与-120°终边相同的角的集合为M={β|β=-120°+k·360°,k∈Z}.
当k=1时,β=-120°+1×360°=240°,
所以在0°到360°范围内,与-120°终边相同的角是240°,它是第三象限的角.
(2)与640°终边相同的角的集合为M={β|β=640°+k·360°,k∈Z}.当k=-1时,β=640°-360°=280°,
所以在0°到360°范围内,与640°终边相同的角为280°,它是第四象限的角.
(15分钟·30分)
1.(4分)已知集合A={α|α小于90°},B={α|α为第一象限角},则A∩B= ( )
A.{α|α为锐角} B.{α|α小于90°}
C.{α|α为第一象限角} D.以上都不对
【解析】选D.小于90°的角包括锐角及所有负角,第一象限角指终边落在第一象限的角,所以A∩B是指锐角及第一象限的所有负角的集合.
2.(4分)角α与角β的终边关于y轴对称,则α与β的关系为
( )
A.α+β=k·360°,k∈Z
B.α+β=k·360°+180°,k∈Z
C.α-β=k·360°+180°,k∈Z
D.α-β=k·360°,k∈Z
【解析】选B.方法一(特值法):令α=30°,β=150°,则α+β=180°.
方法二(直接法):因为角α与角β的终边关于y轴对称,所以β=180°-α+
k·360°,k∈Z,即α+β=k·360°+180°,k∈Z.
3.(4分)若角α=2 020°,则与角α具有相同终边的最小正角为________,最大负角为________.
【解析】因为2 020°=5×360°+220°,所以与角α终边相同的角的集合为{α|α=220°+k·360°,k∈Z},所以最小正角是220°,最大负角是-140°.
答案:220° -140°
4.(4分)角α,β的终边关于y=x对称,若α=30°,则β=________.
【解析】因为30°与60°的终边关于y=x对称,
所以β的终边与60°角的终边相同.所以β=60°+k·360°,k∈Z.
答案:60°+k·360°,k∈Z
【加练·固】α满足180°<α<360°,5α与α有相同的始边,且又有相同的终边,那么α=________.
【解析】5α=α+k·360°,k∈Z,所以α=k·90°,k∈Z.
又因为180°<α<360°,所以α=270°.
答案:270°
5.(14分)已知角β的终边在直线x-y=0上.
(1)写出角β的集合S.
(2)写出集合S中适合不等式-360°<β<720°的元素.
【解析】(1)如图,直线x-y=0过原点,倾斜角为60°,在0°～360°范围内,终边落在射线OA上的角是60°,终边落在射线OB上的角是240°,所以以射线OA,OB为终边的角的集合分别为
S1={β|β=60°+k·360°,k∈Z},
S2={β|β=240°+k·360°,k∈Z},
所以,角β的集合S=S1∪S2={β|β
=60°+k·360°,
k∈Z}∪{β|β=60°+180°+k·360°,k∈Z}
={β|β=60°+2k·180°,k∈Z}∪{β|β=60°+(2k+1)·180°,k∈Z}={β|β=60°+n·180°,n∈Z}.
(2)由于-360°<β<720°,即-360°<60°+n·180°<720°,n∈Z.解得-<n<,n∈Z,
所以n=-2,-1,0,1,2,3.
所以集合S中适合不等式-360°<β<720°的元素为60°-2×180°=
-300°;60°-1×180°=-120°;
60°+0×180°=60°;60°+1×180°=240°;
60°+2×180°=420°;60°+3×180°=600°.
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