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课时素养评价
九 充 要 条 件
(20分钟·40分)
一、选择题(每小题4分，共16分，多选题全部选对得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
1.“x>a”是“x>|a|”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.当x>a时，
如x=1，a=-1，x=|a|，
所以x>ax>|a|，显然x>|a|⇒x>a，
“x>a”是“x>|a|”的必要不充分条件.
2.设集合M=(0，3]，N=(0，2]，那么“a∈M”是“a∈N”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.因为NM.所以“a∈M”是“a∈N”的必要不充分条件.
3.(多选题)已知实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，下列结论正确的
是 ( )
A.Δ=b2-4ac≥0是这个方程有实根的充要条件
B.Δ=b2-4ac=0是这个方程有实根的充分条件
C.Δ=b2-4ac>0是这个方程有实根的必要条件
D.Δ=b2-4ac<0是这个方程没有实根的充要条件
【解析】选ABD.A正确.Δ=b2-4ac≥0⇔方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根；
B正确.Δ=b2-4ac=0⇒方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根；
C错误.Δ=b2-4ac>0⇒方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根；
D正确.Δ=b2-4ac<0⇔方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实根.
【加练·固】
设a，b是实数，则“a+b>0”是“ab>0”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选D.本题采用特殊值法：当a=3，b=-1时，a+b>0，但ab<0，故不是充分条件；当a=-3，b=-1时，ab>0，但a+b<0，故不是必要条件.所以“a+b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要条件.
4.设全集为U，在下列条件中，是B⊆A的充要条件的有 ( )
①A∪B=A；
②UA∩B=；
③UA⊆UB；
④A∪UB=U.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】选D.画出维恩图可知，
B⊆A⇔A∪B=A；B⊆A⇔(UA)∩B=；B⊆A⇔UA⊆UB；B⊆A⇔A∪(UB)=U.
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”填空.
(1)m=1是函数y=为二次函数的_______条件.
(2)△ABC是锐角三角形是∠ABC为锐角的_______条件.
【解析】(1)当m=1时，函数y=x2为二次函数.反之，当函数y=为二次函数时，m2-4m+5=2，解得m=3或m=1，
所以m=1是函数y=为二次函数的充分不必要条件.
(2)三个内角都是锐角的三角形是锐角三角形，
所以△ABC是锐角三角形⇒∠ABC为锐角，
∠ABC为锐角△ABC是锐角三角形，
所以△ABC是锐角三角形是∠ABC为锐角的充分不必要条件.
答案：(1)充分不必要 (2)充分不必要
6.设n∈N+，一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=________.
【解析】一元二次方程x2-4x+n=0有实数根⇔(-4)2-4n≥0⇔n≤4.
又n∈N+，则n=4时，方程x2-4x+4=0，有整数根2；
n=3时，方程x2-4x+3=0，有整数根1，3；
n=2时，方程x2-4x+2=0，无整数根；
n=1时，方程x2-4x+1=0，无整数根.
所以n=3或n=4.
答案：3或4
三、解答题
7.(16分)下列各题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)？
(1)p：∠C=90°，q：△ABC是直角三角形.
(2)p：a，b至少有一个不为零，q：a2+b2>0.
(3)p：a+1>b，q：a>b.
(4)p：-5x2ym与xny是同类项，q：m+n=3.
【解析】(1)由题意得，p⇒q，qp，
所以p是q的充分不必要条件.
(2)若a，b至少有一个不为零，则a2，b2至少有一个大于零，所以a2+b2>0，反之由a2+b2>0也可推出a，b至少有一个不为零，所以p⇔q，所以p是q的充要条件.
(3)p：a+1>b，q：a>b，因为a+1>a，所以q⇒p，pq，所以p是q的必要不充分条件.
(4)若-5x2ym与xny是同类项，
则m=1，n=2，所以m+n=3，
当m+n=3时，-5x2ym与xny不一定是同类项，
所以p⇒q，qp，所以p是q的充分不必要条件.
(15分钟·30分)
1.(4分)设P，Q是非空集合，命题甲为P∩Q=P∪Q；命题乙为：P⊆Q，那么甲是乙的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.P∩Q=P∪Q⇒P=Q⇒P⊆Q，
当PQ时，P∩Q≠P∪Q，所以P⊆QP∩Q=P∪Q，
所以甲是乙的充分不必要条件.
2.(4分)若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab=0，则称a与b互补.
记φ(a，b)=-a-b，那么φ(a，b)=0是a与b互补的 ( )
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选C.若φ(a，b)=0，即=a+b，
两边平方得ab=0，
若a=0，则=b，所以b≥0，
若b=0，则=a，所以a≥0，
故具备充分性.
若a≥0，b≥0，ab=0，则不妨设a=0.
φ(a，b)=-a-b=-b=0.故具备必要性.
3.(4分)函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象关于y轴对称的充要条件是 ( )
A.b=c=0 B.b=0且c≠0
C.b=0 D.b≥0
【解析】选C.函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象关于y轴对称⇔-=0⇔b=0.
4.(4分)已知p：-1<x<3，q：-1<x<m+1，若q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________.
【解析】因为q是p的必要不充分条件，所以p⇒q，qp，
所以(-1，3)(-1，m+1)，所以m+1>3，解得m>2.
答案：(2，+∞)
【加练·固】
已知p：0<x<3，q：2x-3<m，若p是q的充分不必要条件，实数m的取值范围是________.
【解析】因为由2x-3<m得x<，
因为p是q充分不必要条件，
所以{0|0<x<3}{x|x<}，
所以≥3，解得m≥3.
答案：[3，+∞)
5.(14分)设x，y∈R，求证|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.
【证明】(1)如果xy≥0，则有xy=0和xy>0两种情况，当xy=0时，不妨设x=0，
则|x+y|=|y|，|x|+|y|=|y|，所以等式成立.
当xy>0时，即x>0，y>0或x<0，y<0，
又当x>0，y>0时，|x+y|=x+y，|x|+|y|=x+y，所以等式成立.
当x<0，y<0时，|x+y|=-(x+y)，
|x|+|y|=-x-y，所以等式成立.
综上知，xy≥0⇒|x+y|=|x|+|y|.
(2)若|x+y|=|x|+|y|且x，y∈R，则|x+y|2=(|x|+|y|)2，
即x2+2xy+y2=x2+y2+2|x||y|，
所以|xy|=xy，所以xy≥0.
所以|x+y|=|x|+|y|⇒xy≥0.
从而xy≥0⇔|x+y|=|x|+|y|.
因此xy≥0是等式|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件.
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