2019_2020学年新教材高中数学课时跟踪检测三十一任意角新人教A版必修第一册.doc

课时跟踪检测（三十一） 任 意 角
A级——学考水平达标练
1．以下说法，其中正确的有(　　)
①－75°是第四象限角；　　　②265°是第三象限角；
③475°是第二象限角； ④－315°是第一象限角．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选D　由终边相同角的概念知：①②③④都正确，故选D.
2．若角α的终边在y轴的负半轴上，则角α－150°的终边在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．y轴的正半轴上 D．x轴的负半轴上
解析：选B　因为角α的终边在y轴的负半轴上，所以α＝k·360°＋270°(k∈Z)，所以α－150°＝k·360°＋270°－150°＝k·360°＋120°(k∈Z)，所以角α－150°的终边在第二象限．故选B.
3．下列各角中，与60°角终边相同的角是(　　)
A．－300° B．－60°
C．600° D．1 380°
解析：选A　与60°角终边相同的角α＝k·360°＋60°，k∈Z，令k＝－1，则α＝－300°.
4．集合M＝{α|α＝k·90°，k∈Z}中，各角的终边都在(　　)
A．x轴正半轴上
B．y轴正半轴上
C．x轴或y轴上
D．x轴正半轴或y轴正半轴上
解析：选C　k＝1,2,3,4，终边分别落在y轴正半轴上，x轴负半轴上，y轴负半轴上，x轴正半轴上，又k∈Z，故选C.
5.若角α是第三象限角，则角的终边所在的区域是如图所示的区域(不含边界)(　　)
A．③⑦　　　　　 　B．④⑧
C．②⑤⑧ D．①③⑤⑦

解析：选A　∵α是第三象限角，∴k·360°＋180°＜α＜k·360°＋270°(k∈Z)，∴k·180°＋90°＜＜k·180°＋135°(k∈Z)．
当k＝2n(n∈Z)时，n·360°＋90°＜＜n·360°＋135°(n∈Z)，其终边在区域③内；当k＝2n＋1(n∈Z)时，n·360°＋270°＜＜n·360°＋315°(n∈Z)，其终边在区域⑦内．
∴角的终边所在的区域为③⑦.
6．若时针走过2小时40分，则分针走过的角是________．
解析：2小时40分＝小时，分针是按顺时针方向旋转的，所以－360°×＝－960°，故分针走过的角为－960°.
答案：－960°
7．已知锐角α，它的10倍与它本身的终边相同，则角α＝________.
解析：与角α终边相同的角连同角α在内可表示为{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，
因为锐角α的10倍角的终边与其终边相同，
所以10α＝α＋k·360°，k∈Z，即α＝k·40°，k∈Z.
又α为锐角，所以α＝40°或80°.
答案：40°或80°
8.已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么α∈________.
解析：在0°～360°范围内，终边落在阴影内的角α满足30°＜α＜150°或210°＜α＜330°，所以所有满足题意的角α的集合为{α|k·360°＋30°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°＜α＜k·360°＋330°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°＜α＜2k·180°＋150°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°＜α＜(2k＋1)·180°＋150°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°＜α＜n·180°＋150°，n∈Z}．
答案：{α|n·180°＋30°＜α＜n·180°＋150°，n∈Z}
9．如图所示，分别写出终边在阴影部分内的角的集合．

解：先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得
(1){α|150°＋k·360°≤α≤390°＋k·360°，k∈Z}．
(2){α|45°＋k·180°≤α≤60°＋k·180°，k∈Z}．
10．在0°到360°之间，找出与下列各角终边相同的角α，并指出它们分别为第几象限角．
(1)－1 154°18′.(2)2 428°.
解：(1)因为－1 154°18′÷360°＝－4余285°42′，
所以－1 154°18′＝－4×360°＋285°42′，
相应α＝285°42′，从而－1 154°18′为第四象限角．
(2)因为2 428°÷360°＝6余268°，
所以2 428°＝6×360°＋268°，
相应α＝268°，从而2 428°为第三象限角．
B级——高考水平高分练
1．若α与β终边相同，则α－β的终边落在(　　)
A．x轴的非负半轴上　　　 　B．x轴的非正半轴上
C．y轴的非负半轴上 D．y轴的非正半轴上
解析：选A　∵α＝β＋k·360°，k∈Z，
∴α－β＝k·360°，k∈Z，
∴其终边在x轴的非负半轴上．
2．若角α和β的终边满足下列位置关系，试写出α和β的关系式：
(1)重合：________________；
(2)关于x轴对称：________________.
解析：根据终边相同的角的概念，数形结合可得：
(1)α＝k·360°＋β(k∈Z)，
(2)α＝k·360°－β(k∈Z)．
答案：(1)α＝k·360°＋β(k∈Z)
(2)α＝k·360°－β(k∈Z)
3．已知α＝－315°.
(1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求θ，使θ与α终边相同，且－1 080°＜θ＜－360°.
解：(1)因为－315°＝－360°＋45°.又0°＜45°＜360°，所以把α写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式为α＝－360°＋45°(β＝45°)，它是第一象限角．
(2)与－315°终边相同的角为θ＝k·360°＋45°(k∈Z)，所以当k＝－3，－2时，θ＝－1 035°，－675°，满足－1 080°＜θ＜－360°.即得所求角θ为－1 035°和－675°.
4．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．
解：由题意可知，α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z.
∵α，β都是锐角，
∴0°<α＋β<180°.
取k＝1，得α＋β＝80°. ①
∵α－β＝670°＋k·360°，k∈Z，
α，β都是锐角，
∴－90°<α－β<90°.
取k＝－2，得α－β＝－50°. ②
由①②，得α＝15°，β＝65°.

5.如图，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从点A出发，依逆时针方向等速沿单位圆周旋转．已知P在1秒钟内转过的角度为θ(0°＜θ＜180°)，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟后又恰好回到出发点A.求θ，并判断θ所在象限．
解：根据题意知，14秒钟后，点P在角14θ＋45°的终边上，所以45°＋k·360°＝14θ＋45°，k∈Z，即θ＝，k∈Z.
又180°＜2θ＋45°＜270°，
即67.5°＜θ＜112.5°，
∴67.5°＜＜112.5°，k∈Z，
∴k＝3或k＝4，
∴所求θ的值为或.
∵0°＜＜90°，90°＜＜180°，
∴θ在第一象限或第二象限．

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