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课时跟踪检测（四） 并集与交集
A级——学考水平达标练
1．已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{－2,2}，下列结论成立的是( )
A．N⊆M B．M∪N＝M
C．M∩N＝N D．M∩N＝{2}
解析：选D ∵－2∈N，但－2∉M，∴A、B、C三个选项均错误．
2．设集合A＝{x|x参加自由泳的运动员}，B＝{x|x参加蛙泳的运动员}，对于“既参加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示( )
A．A∩B B．A⊇B
C．A∪B D．A⊆B
解析：选A 因为集合A＝{x|x参加自由泳的运动员}，B＝{x|x参加蛙泳的运动员}，所以“既参加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示为A∩B，故选A.
3．设集合A＝{a，b}，B＝{a＋1,5}，若A∩B＝{2}，则A∪B等于( )
A．{1,2} B．{1,5}
C．{2,5} D．{1,2,5}
解析：选D ∵A∩B＝{2}，∴2∈A,2∈B，
∴a＋1＝2，∴a＝1，b＝2，
即A＝{1,2}，B＝{2,5}．
∴A∪B＝{1,2,5}，故选D.
4．若集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x＜－1或x＞4}，则集合A∩B等于( )
A．{x|x≤3或x＞4} B．{x|－1＜x≤3}
C．{x|3≤x＜4} D．{x|－2≤x＜－1}
解析：选D 直接在数轴上标出A，B，如图所示，取其公共部分即得A∩B＝{x|－2≤x＜－1}．
5．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是( )
A．a<2 B．a>－2
C．a>－1 D．－1<a≤2
解析：选C ∵A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，要使A∩B≠∅，借助数轴可知a>－1.
6．已知M＝{x|y＝x2－2}，N＝{y|y＝x2－2}，则M∩N等于________．
解析：因为M＝R，N＝{y|y≥－2}，所以N⊆M，M∩N＝N.
答案：N
7．已知集合A＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，则A∩B＝________.
解析：A，B都表示点集，A∩B即是由A中在直线x＋y－1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．
答案：{(0,1)，(－1,2)}
8．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是________．
解析：因为A∪B＝R，画出数轴(图略)可知，表示实数a的点必须与表示1的点重合或在表示1的点的左边，所以a≤1.
答案：{a|a≤1}
9．已知集合U＝R，A＝{x|x≥3}，B＝{x|1≤x≤7}，C＝{x|x≥a－1}．
(1)求A∩B，A∪B.
(2)若C∪A＝A，求实数a的取值范围．
解：(1)A∩B＝{x|x≥3}∩{x|1≤x≤7}＝{x|3≤x≤7}，A∪B＝{x|x≥3}∪{x|1≤x≤7}＝{x|x≥1}．
(2)因为C∪A＝A，所以C⊆A，所以a－1≥3，即a≥4.
故实数a的取值范围为{a|a≥4}．
10．设集合A＝{2，－1，x2－x＋1}，B＝{2y，－4，x＋4}，C＝{－1,7}，且A∩B＝C，求实数x，y的值及A∪B.
解：由已知A＝{2，－1，x2－x＋1}，B＝{2y，－4，x＋4}，C＝{－1,7}，且A∩B＝C，
得7∈A,7∈B且－1∈B，
∴在集合A中x2－x＋1＝7，
解得x＝－2或3.
当x＝－2时，在集合B中，x＋4＝2，
又∵2∈A，故2∈A∩B＝C，
但2∉C，故x＝－2不合题意，舍去．
当x＝3时，在集合B中，x＋4＝7.
故有2y＝－1，解得y＝－，
经检验满足A∩B＝C.
综上知，所求x＝3，y＝－.
此时，A＝{2，－1,7}，B＝{－1，－4,7}，
故A∪B＝{－4，－1,2,7}．
B级——高考水平高分练
1．如图所示的Venn图中，若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x＞1}，则阴影部分表示的集合为________．
解析：因为A∩B＝{x|1＜x≤2}，A∪B＝{x|x≥0}，阴影部分为A∪B中除去A∩B的部分，即为{x|0≤x≤1，或x＞2}．
答案：{x|0≤x≤1，或x＞2}
2．设集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}，则使A⊆A∩B成立的a的取值集合为________．
解析：由A⊆A∩B，得A⊆B，则
①当A＝∅时，2a＋1＞3a－5，解得a＜6.
②当A≠∅时，解得6≤a≤9.
综合①②可知，使A⊆A∩B成立的a的取值集合为{a|a≤9}．
答案：{a|a≤9}
3．已知集合M＝{x|2x－4＝0}，集合N＝{x|x2－3x＋m＝0}，
(1)当m＝2时，求M∩N，M∪N；
(2)当M∩N＝M时，求实数m的值．
解：(1)由题意得M＝{2}．当m＝2时，N＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，
则M∩N＝{2}，M∪N＝{1,2}．
(2)∵M∩N＝M，∴M⊆N.∵M＝{2}，∴2∈N.
∴2是关于x的方程x2－3x＋m＝0的解，
即4－6＋m＝0，解得m＝2.
4．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0}．
(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；
(2)若A∩B＝B，求实数a的取值范围．
解：(1)∵A∩B＝{2}，
∴2∈B，代入B中方程，得a2＋4a＋3＝0，
∴a＝－1或a＝－3.
当a＝－1时，B＝{－2,2}，满足条件；
当a＝－3时，B＝{2}，也满足条件．
综上得a的值为－1或－3.
(2)∵A∩B＝B，∴B⊆A.
对于集合B中方程，当Δ＝4(a＋1)2－4(a2－5)＝8(a＋3)＜0，即a＜－3时，B＝∅，满足条件；
当Δ＝0，即a＝－3时，B＝{2}，满足条件；
当Δ＞0，即a＞－3时，B＝A＝{1,2}才满足条件，
即此时a值不存在．
综上可知，a的取值范围是{a|a≤－3}．
5．某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．求该网店：
(1)第一天售出但第二天未售出的商品有多少种？
(2)这三天售出的商品最少有多少种？
解：(1)设第一天售出的商品为集合A，则A中有19个元素，第二天售出的商品为集合B，则B中有13个元素．由于前两天都售出的商品有3种，则A∩B中有3个元素．如图Venn图所示，所以该网店第一天售出但第二天未售出的商品有19－3＝16(种)．
(2)由(1)知，前两天售出的商品为19＋13－3＝29(种)，当第三天售出的18种都是前两天售出的商品时，这三天售出的商品种类最小，售出的商品最少为29种．
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