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课时跟踪检测（十六） 奇 偶 性
A级——学考水平达标练
1．下列函数中，是偶函数的是( )
A．y＝x2(x＞0) B．y＝|x＋1|
C．y＝ D．y＝3x－1
解析：选C 先判断定义域是否关于原点对称，排除A，再验证f(－x)＝f(x)是否成立，故选C.
2．函数f(x)＝是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
解析：选B 若x是有理数，则－x也是有理数，
∴f(－x)＝f(x)＝1；若x是无理数，则－x也是无理数，
∴f(－x)＝f(x)＝0.∴函数f(x)是偶函数．
3．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且有f(3)＞f(1)，则下列各式中一定成立的是( )
A．f(－1)＜f(3) B．f(0)＜f(5)
C．f(3)＞f(2) D．f(2)＞f(0)
解析：选A f(x)为偶函数，所以f(－1)＝f(1)，又f(3)＞f(1)，所以f(3)＞f(－1)成立．
4．如果奇函数f(x)的区间[－7，－3]上是减函数且最大值为5，那么函数f(x)在区间[3,7]上是( )
A．增函数且最小值为－5 B．增函数且最大值为－5
C．减函数且最小值为－5 D．减函数且最大值为－5
解析：选C ∵f(x)为奇函数，∴f(x)在[3,7]上的单调性与[－7，－3]上的单调性一致，且f(7)为最小值．∵f(－7)＝5，∴f(7)＝－f(－7)＝－5，选C.
5．设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x2＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝( )
A．4 B．1
C．－1 D．－4
解析：选D 因为f(x)为定义在R上的奇函数，
所以有f(0)＝2×02＋2×0＋b＝0，解得b＝0，
所以当x≥0时，f(x)＝2x2＋2x，
所以f(－1)＝－f(1)＝－(2×12＋2×1)＝－4.
6．已知定义在R上的偶函数f(x)满足：当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝则f(f(－2))＝________.
解析：因为f(－2)＝f(2)＝0，所以f(f(－2))＝f(0)＝1.
答案：1
7．已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且在[2,6]上是减函数，则f(－5)________f(3)．(填“＞”或“＜”)
解析：∵f(x)为偶函数，∴f(－5)＝f(5)，而函数f(x)在[2,6]为减函数，∴f(5)＜f(3)．∴f(－5)＜f(3)．
答案：＜
8．已知定义域为[a－4,2a－2]的奇函数f(x)＝2 019x3－5x＋b＋2，则f(a)＋f(b)的值为________．
解析：奇函数的图象关于原点对称，所以a－4＋2a－2＝0，所以a＝2，因为函数f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，即b＋2＝0，故b＝－2，所以f(a)＋f(b)＝f(2)＋f(－2)＝f(2)－f(2)＝0.
答案：0
9．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x3＋x5；
(2)f(x)＝
(3)f(x)＝.
解：(1)函数的定义域为R.∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(2)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x>0时，－x<0，
f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；
当x<0时，－x>0，
f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．
综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．
(3)∵函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．
10．设函数f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋4x.
(1)求f(x)的表达式；
(2)证明f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数．
解：(1)当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝(－x)2＋4(－x)＝x2－4x.
因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)＝－f(－x)＝－(x2－4x)＝－x2＋4x(x<0)．
所以f(x)＝
(2)证明：设任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，则
f(x2)－f(x1)＝(x＋4x2)－(x＋4x1)＝(x2－x1)·(x2＋x1＋4)．
因为0<x1<x2，所以x2－x1>0，x2＋x1＋4>0，
所以f(x2)－f(x1)>0，所以f(x1)<f(x2)，
所以f(x)是(0，＋∞)上的增函数．
B级——高考水平高分练
1．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数：①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x中奇函数为________(填序号)．
解析：因为f(|－x|)＝f(|x|)，所以①为偶函数；因为f(－x)＝－f(x)，令g(x)＝－f(x)，则g(－x)＝－f(－x)＝f(x)＝－g(x)，所以②为奇函数；令F(x)＝xf(x)，则F(－x)＝(－x)f(－x)＝xf(x)＝F(x)，故③是偶函数；令h(x)＝f(x)＋x，则h(－x)＝f(－x)－x＝－f(x)－x＝－h(x)，故④是奇函数．
答案：②④
2．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0)上是增函数，且f(2)＝0，则使f(x)＜0的x的取值范围是________．
解析：由f(2)＝f(－2)＝0，
再结合图象可知f(x)＜0的解为
x＜－2或x＞2.
答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)
3．如图是函数f(x)＝在区间[0，＋∞)上的图象，请据此在该坐标系中补全函数f(x)在定义域内的图象，请说明你的作图依据．
解：因为f(x)＝，所以f(x)的定义域为R.
又对任意x∈R，都有f(－x)＝＝＝f(x)，
所以f(x)为偶函数，
所以f(x)的图象关于y轴对称，其图象如图所示．
4．已知函数f(x)＝x2－mx(m>0)在区间[0,2]上的最小值为g(m)．
(1)求函数g(m)的解析式；
(2)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数h(x)为偶函数，且当x>0时，h(x)＝g(x)．若h(t)>h(4)，求实数t的取值范围．
解：(1)因为f(x)＝x2－mx＝2－(m>0)，
所以当0<m≤4时，0<≤2，
此时g(m)＝f＝－.
当m>4时，函数f(x)＝2－在区间[0,2]上单调递减，
所以g(m)＝f(2)＝4－2m.
综上可知，g(m)＝
(2)因为当x>0时，h(x)＝g(x)，
所以当x>0时，h(x)＝
易知函数h(x)在(0，＋∞)上单调递减，
因为定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数h(x)为偶函数，且h(t)>h(4)，
所以0<|t|<4，解得－4<t<0或0<t<4.
综上所述，实数t的取值范围为(－4,0)∪(0,4)．
5．已知函数f(x)对一切实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
(1)求证：f(x)是奇函数；
(2)若f(－3)＝a，试用a表示f(12)．
解：(1)证明：由已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
令y＝－x得f(0)＝f(x)＋f(－x)，
令x＝y＝0得f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0.
所以f(x)＋f(－x)＝0，
即f(－x)＝－f(x)，故f(x)是奇函数．
(2)由(1)知f(x)为奇函数．
所以f(－3)＝－f(3)＝a，所以f(3)＝－a.
又f(12)＝f(6)＋f(6)＝2f(3)＋2f(3)＝4f(3)，
所以f(12)＝－4a.
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