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课时素养评价 二十三
函数奇偶性的应用
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.(多选题)已知函数f(x)=-x,x∈(-1,0)∪(0,1),则正确的判断是 ( )
A.f(x)是奇函数
B.f(x)是偶函数
C.f(x)在(0,1)上单调递减
D.f(x)在(-1,0)上单调递减
【解析】选A、C、D.函数f(x)=-x的定义域为{x|x≠0},
因为∀x∈{x|x≠0}都有-x∈{x|x≠0},
且f(-x)=-(-x)
=-=-f(x),
所以f(x)=-x为奇函数,
因为y=和y=-x都在(0,1)上单调递减,
所以函数f(x)在(0,1)上单调递减,
根据f(x)为奇函数可知f(x)在(-1,0)上单调递减,
综上知A,C,D正确,B错误.
【加练·固】
下列函数中,既是奇函数又是增函数的为 ( )
A.y=x+1 B.y=x3
C.y= D.y=x2
【解析】选B.根据题意,依次分析选项:
对于A,y=x+1,是一次函数,不是奇函数,不符合题意;对于B,y=x3,为幂函数,既是奇函数又是增函数,符合题意;对于C,y=,为反比例函数,在定义域上不是增函数,不符合题意;对于D,y=x2,为二次函数,不是奇函数,不符合题意.
2.若函数f(x)和g(x)都是奇函数,且F(x)=f(x)+g(x)+2在(0,+∞)上有最大值5,则F(x)在(-∞,0)上有 ( )
A.最小值-5 B.最大值-5
C.最小值-1 D.最大值-3
【解析】选C.令h(x)=f(x)+g(x),
因为函数f(x),g(x)都是奇函数,
则h(x)也是奇函数,且F(x)=h(x)+2.
因为F(x)=f(x)+g(x)+2在(0,+∞)上有最大值5,所以h(x)在(0,+∞)上有最大值3,
所以h(x)在(-∞,0)上有最小值-3,
所以F(x)=h(x)+2在(-∞,0)上有最小值-1.
3.定义在R上的函数f(x)是奇函数,且在(0,+∞)上单调递增,又f(-3)=0,则f(x)<0的解集是 ( )
A.(-3,0)∪(3,+∞)
B.(-∞,-3)∪(0,3)
C.(-∞,-3)∪(3,+∞)
D.(-3,0)∪(0,3)
【解析】选B.因为f(x)是奇函数,且在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,0)上单调递增,
因为f(-3)=-f(3)=0,所以f(3)=0.
则对应的函数图象如图(草图):
则当-3<x<0或x>3时,f(x)>0,
当0<x<3或x<-3时,f(x)<0,
即f(x)<0的解集是(-∞,-3)∪(0,3).
4.设f(x)是R上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,则f(-2),f(-π),f(3)的大小顺序是( )
A.f(-π)>f(3)>f(-2)
B.f(-π)>f(-2)>f(3)
C.f(3)>f(-2)>f(-π)
D.f(3)>f(-π)>f(-2)
【解析】选A.因为f(x)是R上的偶函数,
所以f(-2)=f(2),f(-π)=f(π),
又f(x)在[0,+∞)上单调递增,且2<3<π,
所以f(π)>f(3)>f(2),
即f(-π)>f(3)>f(-2).
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=2x2+-x,则f(x)=________.
【解析】因为f(x)是定义在R上的奇函数,
所以f(0)=0;
又因为x<0时,f(x)=2x2+-x,
f(-x)=-f(x), 所以x>0时,
-x<0,f(-x)=2(-x)2+-(-x)
=2x2-+x,
f(x)=-f(-x)=-2x2+-x;
综上,f(x)=
答案:
6.设函数f(x)是定义在[a,b]上的奇函数,则f(a+b)=________,此函数的最大值和最小值之和为________.
【解析】因为函数f(x)是定义在[a,b]上的奇函数,所以a+b=0,所以f(a+b)=f(0)=0,
由奇函数的图象关于原点对称可知,此函数的最大值和最小值之和为0.
答案:0 0
三、解答题(共26分)
7.(12分)已知函数f(x)=x2+.
(1)判断f(x)的奇偶性,并说明理由.
(2)判断f(x)在[2,+∞)上的单调性,并证明你的结论.
【解析】(1)f(x)为非奇非偶函数.理由如下:
根据题意,f(x)=x2+,
则f(-1)=0,f(1)=2;
则有f(-1)≠-f(1),且f(-1)≠f(1);
则f(x)为非奇非偶函数.
(2)根据题意,f(x)在[2,+∞)上单调递增.
证明:∀x1,x2∈[2,+∞),且x1>x2,
则f(x1)-f(x2)=-
=(x1+x2)(x1-x2)+
=(x1-x2),
又由x1>x2≥2;则x1-x2>0,x1x2>4,
<1,x1+x2->0,则f(x1)>f(x2);
故f(x)在[2,+∞)上单调递增.
8.(14分)已知f(x)为定义在R上的偶函数,当x≤-1时,f(x)=x+b,且f(x)的图象经过点(-2,0),在y=f(x)的图象中有一部分是顶点为(0,2),过点(-1,1)的一段抛物线.
(1)试求出f(x)的表达式.
(2)求出f(x)的值域.
【解析】(1)当x≤-1时,f(x)=x+b,且f(x)的图象经过点(-2,0),则b-2=0,解得:b=2,即f(x)=x+2;
由于f(x)为定义在R上的偶函数,当x≥1时,f(x)=f(-x)=-x+2;
y=f(x)的图象中有一部分是顶点为(0,2),过点(-1,1)的一段抛物线.
设y=ax2+2,过点(-1,1),则a+2=1,
解得a=-1,所以y=-x2+2,
可见当-1<x<1时,f(x)=-x2+2;
则f(x)=
(2)当x≤-1时,f(x)=x+2≤1;
当-1<x<1时,f(x)=-x2+2∈(1,2];
当x≥1时,f(x)=-x+2≤1;
函数的值域为(-∞,2].
(15分钟·30分)
1.(4分)设f(x)是R上的偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,若x1<0,且x1+x2>0,则 ( )
A.f(-x1)>f(-x2)
B.f(-x1)=f(-x2)
C.f(-x1)<f(-x2)
D.f(-x1)与f(-x2)大小不确定
【解析】选A.因为f(x)在R上是偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,所以在(-∞,0)上单调递增,因为x1<0,且x1+x2>0,所以0>x1>-x2,所以f(x1)>f(-x2),又f(x1)= f(-x1),
所以f(-x1)>f(-x2).
2.(4分)函数f(x)是一个偶函数,g(x)是一个奇函数,且f(x)+g(x)=,则f(x)=
( )
A. B.
C. D.
【解析】选A.由题知f(x)+g(x)=①
以-x代x,①式得f(-x)+g(-x)=,即f(x)-g(x)=②
①+②得f(x)=.
3.(4分)设定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈[0,2)时,f(x) =2x-x2,则f(0)+f(1)+f(2)+…+f(4 035)=________.
【解析】因为f(x+2)=f(x),
且当x∈[0,2)时,f(x)=2x-x2,
所以f(0)=f(2)=f(4)=f(6)=…=f(4 034)=0,
f(1)=f(3)=f(5)=f(7)=…=f(4 035)
=2-1=1,
所以f(0)+f(1)+f(2)+…+f(4 035)
=2 018×0+2 018×1=2 018.
答案:2 018
【加练·固】
已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对于任意的x∈R,都有f(x+4)=f(x) +f(2),f(1)=4,则f(3)+f(10)的值为________.
【解析】由f(x+4)=f(x)+f(2),
令x=-2,得f(-2+4)=f(-2)+f(2),
又f(x)为偶函数,所以f(-2)=f(2),
所以f(2)=0,所以f(x+4)=f(x),又f(1)=4,
所以f(3)+f(10)=f(-1)+f(2)
=f(1)+f(2)=4+0=4.
答案:4
4.(4分)已知偶函数f(x)在(-∞,0]上单调递减,且f(2)=0,则不等式>0的解集为______.
【解析】根据题意,偶函数f(x)在(-∞,0]上单调递减,则f(x)在[0,+∞)上递增,又由f(2)=0,则在(0,2)上,f(x)<0,在(2,+∞)上,f(x)>0,
又由f(x)为偶函数,则在(-∞,-2)上,
f(x)>0,在(-2,0)上,f(x)<0,
>0⇔f(x)(x-1)>0⇔或解得:-2<x<1或x>2,
即不等式的解集为(-2,1)∪(2,+∞).
答案:(-2,1)∪(2,+∞)
5.(14分)已知函数f(x)=x2+|x-a|+1,a∈R.
试判断f(x)的奇偶性.
【解析】当a=0时,函数f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x),
此时,f(x)为偶函数.
当a≠0时,f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,
f(a)≠f(-a),f(a)≠-f(-a),此时f(x)为非奇非偶函数.
1.设f(x)是定义在R上单调递减的奇函数,若x1+x2>0,x2+x3>0,x3+x1>0,则
( )
A.f(x1)+f(x2)+f(x3)<0
B.f(x1)+f(x2)+f(x3)>0
C.f(x1)+f(x2)+f(x3)=0
D.f(x1)+f(x2)>f(x3)
【解题指南】利用函数单调性和奇偶性,分别推出f(x1)+f(x2)<0,f(x2)+f(x3)<0, f(x1)+f(x3)<0,相加即可得结论.
【解析】选A.因为x1+x2>0,所以x1>-x2,
因为f(x)是定义在R上的减函数,
所以f(x1)<f(-x2),又因为f(x)是奇函数,
所以f(x1)<-f(x2),即f(x1)+f(x2)<0,
同理由x2+x3>0推出f(x2)+f(x3)<0,
由x3+x1>0推出f(x1)+f(x3)<0,
将所得三个不等式相加,可得2f(x1)+2f(x2)+2f(x3)<0,
所以f(x1)+f(x2)+f(x3)<0.
2.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=-x2-2x.
(1)求函数f(x)的解析式.
(2)若对任意实数m,f(m-1)+f(m2+t)<0恒成立,求实数t的取值范围.
【解析】(1)当x<0时,-x>0,
又因为f(x)为奇函数,
所以f(x)=-f(-x)=-(-x2+2x)
=x2-2x,
所以f(x)=
(2)因为f(m-1)+f(m2+t)<0,
所以f(m-1)<-f(m2+t),
又f(x)是奇函数,所以f(m-1)<f(-t-m2),
又因为f(x)为R上的减函数,
所以m-1>-t-m2恒成立,
所以t>-m2-m+1=-+恒成立,
所以t>,即实数t的取值范围为.
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