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课时素养评价 一
集合的含义
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.下列各项中,不可以组成集合的是 ( )
A.所有的正数 B.等于2的数
C.接近于0的数 D.不等于0的偶数
【解析】选C. “接近于0”的标准是不确定的,故不能构成集合.
2.(多选题)下列表述正确的是 ( )
A.0∈N B.∈Z
C.∈Z D.π∉Q
【解析】选A、D.因为N、Z、Q分别表示自然数集、整数集、有理数集.0是自然数,不是整数,不是整数,π不是有理数,所以0∈N和π∉Q正确.
【加练·固】若一个集合中的三个元素a,b,c是△ABC的三边长,则此三角形一定不是 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
【解析】选D.根据集合的性质可知,a≠b≠c,
所以△ABC一定不是等腰三角形.
3.下面有四个语句:
①集合N*中最小的数是0;
②-a∉N,则a∈N;
③a∈N,b∈N,则a+b的最小值是2;
④x2+1=2x的解集中含有两个元素.
其中说法正确的个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选A.N*是不含0的自然数,所以①错误;
取a=,则-∉N,∉N,所以②错误;
对于③,当a=b=0时,a+b取得最小值是0,而不是2,所以③错误;对于④,解集中只含有元素1,故④错误.
4.“booknote”中的字母构成一个集合,该集合的元素个数是 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
【解析】选B.根据集合元素的互异性可知,booknote中的不同字母共有“b,o,k,n,t,e”6个,故该集合的元素个数为6.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.已知集合A是由偶数组成的,集合B是由奇数组成的,若a∈A,b∈B,则a+b______A,ab______A.(填“∈”或“∉”)
【解析】因为a∈A,b∈B,所以a是偶数,b是奇数,所以a+b是奇数,ab是偶数,故a+b∉A,ab∈A.
答案:∉ ∈
6.以方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的解为元素的集合中共有________个元素.
【解析】由x2-5x+6=0,解得x=2或x=3.由x2-x-2=0,解得x=2或x=-1.根据集合中元素的互异性可知,共有3个元素.
答案:3
三、解答题(共26分)
7.(12分)设A是由满足不等式x<6的自然数构成的集合,若a∈A且3a∈A,求a的值.
【解析】因为a∈A且3a∈A,
所以解得a<2.又a∈N,所以a=0或1.
8.(14分)若集合A是由元素-1,3组成的集合,集合B是由方程x2+ax+b=0的解组成的集合,且A=B,求实数a,b.
【解析】因为A=B,
所以-1,3是方程x2+ax+b=0的解.
则解得
(15分钟·30分)
1.(4分)已知2a∈A,a2-a∈A,若A只含这两个元素,则下列说法中正确的是
( )
A.a可取全体实数
B.a可取除去0以外的所有实数
C.a可取除去3以外的所有实数
D.a可取除去0和3以外的所有实数
【解析】选D.因为2a∈A,a2-a∈A,
所以2a≠a2-a.
所以a(a-3)≠0.所以a≠0且a≠3.
2.(4分)若由a2,2 019a组成的集合M中有两个元素,则a的取值可以是( )
A.0 B.2 019
C.1 D.0或2 019
【解析】 选C.若集合M中有两个元素,则a2≠2 019a.即a≠0且a≠2 019.
3.(4分)用符号“∈”或“∉”填空:
(1)设集合B是小于的所有实数的集合,则2________B,1+________ B.
(2)设集合C是满足方程x=n2+1(其中n为正整数)的实数x的集合,则3________C,5________C.
(3)设集合D是满足方程y=x2的有序实数对(x,y)的集合,则-1________D,(-1,1) ________D.
【解析】(1)因为2=>,所以2∉B;
因为(1+)2=3+2<3+2×4=11,
所以1+<,所以1+∈B.
(2)因为n是正整数,所以n2+1≠3,所以3∉C;
当n=2时,n2+1=5,所以5∈C.
(3)因为集合D中的元素是有序实数对(x,y),
则-1是数,所以-1∉D;
又(-1)2=1,所以(-1,1)∈D.
答案:(1)∉ ∈ (2)∉ ∈ (3)∉ ∈
【加练·固】若A表示第一、三象限的角平分线上的点的集合,则点(0,0)____A, (1,1)______A,(-1,1)______A.
【解析】第一、三象限的角平分线上的点的集合可以用直线y=x表示,显然(0,0),(1,1)都在直线y=x上,(-1,1)不在直线上.所以(0,0)∈A,(1,1)∈A,(-1,1)∉A.
答案:∈ ∈ ∉
4.(4分)由实数x,-x,|x|,,-所组成的集合,最多含________个元素.
【解析】当x>0时,x=|x|=,-=-x<0,此时集合共有2个元素,当x=0时,x=|x|==-=-x=0,此时集合共有1个元素,
当x<0时,=|x|=-=-x,此时集合共有2个元素,综上,此集合最多有2个元素.
答案:2
5.(14分)写出由方程x2-(a+1)x+a=0的解组成的集合A中的元素.
【解析】由方程x2-(a+1)x+a=0得(x-a)(x-1)=0,得x=a或x=1.
(1)当a=1时,方程有两个相同的解x=1,则集合A中只有一个元素1.
(2)当a≠1时,方程有两个解1和a,即集合A中有两个元素1和a.
【加练·固】设P,Q为两个数集,P中含有0,2,5三个元素,Q中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q中的元素是a+b,其中a∈P,b∈Q,求P+Q中元素的个数.
【解析】当a=0时,由b∈Q可得a+b的值为1,2,6;
当a=2时,由b∈Q可得a+b的值为3,4,8;
当a=5时,由b∈Q可得a+b的值为6,7,11.
由集合元素的互异性可知,P+Q中的元素为1,2,3,4,6,7,8,11,共8个.
1.设集合A含有-2,1两个元素,B含有-1,2两个元素,定义集合A☉B,满足x1∈A,x2∈B,且x1x2∈A☉B,则A☉B中所有元素之积为 ( )
A.-8 B.-16 C.8 D.16
【解析】选C.因为集合A含有-2,1两个元素,B含有-1,2两个元素,
由题意得,集合A☉B中所有元素是2,-4,-1,
它们的积为:2×(-4)×(-1)=8.
2.(2019·徐州高一检测)设A是由一些实数构成的集合,若a∈A,则∈A,且1∉A,
(1)若3∈A,求A.
(2)证明:若a∈A,则1-∈A.
【解析】(1)因为3∈A,
所以=-∈A,
所以=∈A,
所以=3∈A,
所以A=.
(2)因为a∈A,
所以∈A,
所以==1-∈A.
【加练·固】定义满足“如果a∈A,b∈A,那么a±b∈A,且ab∈A,且∈A(b≠0)”的集合A为“闭集”.试问数集N,Z,Q,R是否分别为“闭集”?若是,请说明理由;若不是,请举反例说明.
【解析】①数集N,Z不是“闭集”,例如,3∈N,2∈N,而=1.5∉N;3∈Z,-2∈Z,而=-1.5∉Z,故N,Z不是闭集.
②数集Q,R是“闭集”.
由于两个有理数a与b的和,差,积,商,
即a±b,ab,(b≠0)仍是有理数,
所以Q是闭集,同理R也是闭集.
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