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单元素养评价(二)
(第七章)
(120分钟 150分)
一、单项选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的)
1.i是虚数单位，复数= ( )
A.2+i B.2-i
C.-2+i D.-2-i
【解析】选B.===2-i.
2.(2019·晋城高二检测)若复数z满足=i，其中i是虚数单位，则z=
( )
A.1-i B.1+i
C.-1-i D.-1+i
【解析】选A.=(1-i)i=-i2+i=1+i，z=1-i.
3.若a为实数，且(2+ai)(a-2i)=-4i，则a= ( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
【解析】选B.因为(2+ai)(a-2i)=-4i，
所以4a+(a2-4)i=-4i.
所以解得a=0.
【加练·固】
若关于x的方程x2+(1+2i)x+3m+i=0有实根，则实数m等于 ( )
A. B.
C.- D.-
【解析】选A.设方程的实数根为x=a(a为实数)，则a2+(1+2i)·a+3m+i=0，
所以 所以
4.(2019·石家庄高二检测)设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】选B.===-1+i，由复数的几何意义知-1+i在复平面内的对应点为(-1，1)，该点位于第二象限.
5.若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是
( )
A.(-∞，1) B.(-∞，-1)
C.(1，+∞) D.(-1，+∞)
【解析】选B.(1-i)(a+i)=a+i-ai-i2=a+1+(1-a)i，因为该复数对应的点在第二象限，
所以所以a<-1.
6.已知=1+i(i为虚数单位)，则复数z= ( )
A.1+i B.1-i
C.-1+i D.-1-i
【解析】选D.由=1+i，
得z====-1-i.
7.设复数z=-1-i(i为虚数单位)，z的共轭复数是，则等于 ( )
A.-1-2i B.-2+i
C.-1+2i D.1+2i
【解析】选C.由题意可得=
==-1+2i.
【加练·固】
已知复数z=-+i，则+|z|= ( )
A.--i B.-+i
C.+i D.-i
【解析】选D.因为z=-+i，所以+|z|
=--i+
=-i.
8.(2019·临汾高二检测)已知i为虚数单位，a为实数，复数z=(a-2i)(1+i)在复平面内对应的点为M，则“a=1”是“点M在第四象限”的 ( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.z=(a-2i)(1+i)=(a+2)+(a-2)i，则点M的坐标为(a+2，a-2)，当a=1时，坐标为(3，-1)，即点M在第四象限，若点M在第四象限，而a=1却不一定成立，故“a=1”是“点M在第四象限”的充分而不必要条件.
9.已知复数z=(x-2)+yi(x，y∈R)在复平面内对应的向量的模为，则的最大值是 ( )
A. B. C. D.
【解析】选D.因为|(x-2)+yi|=，
所以(x-2)2+y2=3，
所以点(x，y)在以C(2，0)为圆心，
以为半径的圆上，如图，
由平面几何知识知-≤≤.
10.(2019·太原高二检测)A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1+z2|=|z1-z2|，则三角形AOB一定是 ( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
【解析】选B.根据复数加(减)法的几何意义，知以，为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB为直角三角形.
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题4分，共12分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
11.已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的值可以是 ( )
A.-2 B.-1 C.0 D.1
【解析】选ABC.由题意知即-3<m<1.故实数m的取值范围为(-3，1).故ABC满足条件.
12.设z是复数，则下列命题中的真命题是 ( )
A.若z2≥0，则z是实数
B.若z2<0，则z是虚数
C.若z是虚数，则z2≥0
D.若z是纯虚数，则z2<0
【解析】选ABD.设z=a+bi，a，b∈R⇒z2=a2-b2+2abi.
对选项A：若z2≥0，则b=0⇒z为实数，所以z为实数正确.
对选项B：若z2<0，则a=0，且b≠0⇒z为纯虚数，所以z为虚数正确.
对选项C：若z为虚数，则z2不一定为实数，所以z2≥0错误.
对选项D：若z为纯虚数，则a=0，且b≠0⇒z2<0，所以z2<0正确.
13.下列复数不可能与复数+i(a∈R)相等的是 ( )
A.-2i B.a2+i
C.3-a2i D.3+a2i
【解析】选ACD.由于+i不可能是纯虚数，而-2i是纯虚数，故-2i和+i不可能相等；当a2=，即a=1时，a2+i和+i相等；因为复数3-a2i的虚部-a2≤0，而+i的虚部为1，故二者不可能相等；若3+a2i和+i相等，则而此方程组无解，故二者不相等.
三、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题中的横线上)
14.若复数z=1-2i(i为虚数单位)，则z·+z=________.
【解析】因为z=1-2i，所以z·=|z|2=5，所以z·+z=6-2i.
答案：6-2i
15.i是虚数单位，若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数，则实数a的值为______________.
【解析】由(1-2i)(a+i)=(a+2)+(1-2a)i是纯虚数可得解得a=-2.
答案：-2
16.(2019·西安高二检测)设z2=z1-i(其中表示z1的共轭复数)，已知z2的实部是-1，则z2的虚部为________ .
【解析】设z1=a+bi(a，b∈R)，
则z2=(a+bi)-i(a-bi)=(a+bi)-(b+ai)=(a-b)+(b-a)i，
因为z2的实部是-1，所以a-b=-1，
所以虚部b-a=1.
答案：1
17.若关于x的方程x2+(2-i)x+(2m-4)i=0有实数根，则纯虚数m=______________.
【解析】设m=bi(b∈R且b≠0)，
则x2+(2-i)x+(2bi-4)i=0，
化简得(x2+2x-2b)+(-x-4)i=0，
即解得所以m=4i.
答案：4i
四、解答题(本大题共6小题，共82分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
18.(12分)(2019·黄冈高二检测)复平面内有A，B，C三点，点A对应的复数是3+i，向量对应的复数是-2-4i，向量对应的复数是-4-i，求B点对应的复数.
【解析】因为向量对应的复数是-2-4i，
向量对应的复数是-4-i，
所以表示的复数是(4+i)-(2+4i)=2-3i，
故=+对应的复数为(3+i)+(2-3i)=5-2i，所以B点对应的复数为5-2i.
19.(14分)已知复数z1=i(1-i)3.
(1)求|z1|.
(2)若|z|=1，求|z-z1|的最大值.
【解析】(1)z1=i(1-i)3=i(-2i)(1-i)=2(1-i)，
所以|z1|==2.
(2)|z|=1，所以设z=cos θ+isin θ，|z-z1|
=|cos θ+isin θ-2+2i|
=
=
当sin=1时，|z-z1|取得最大值，从而得到|z-z1|的最大值为2+1.
20.(14分)(2019·苏州高二检测)设复数z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i(m∈R)，试求m取何值时？
(1)z是实数.
(2)z对应的点位于复平面的第一象限.
【解析】(1)由m2+3m+2=0且m2-2m-2>0，
解得m=-1或m=-2，复数表示实数.
(2)由lg(m2-2m-2)>0，且m2+3m+2>0，
解得m<-2或m>3，故当m<-2或m>3时，
复数z对应的点位于复平面的第一象限.
21.(14分)(2019·武汉高二检测)已知虚数z满足|z|=1，z2+2z+<0，求z.
【解析】设z=x+yi(x，y∈R且y≠0)，
所以x2+y2=1，
则z2+2z+=(x+yi)2+2(x+yi)+
=(x2-y2+3x)+y(2x+1)i.
因为z2+2z+<0且y≠0，
所以
又x2+y2=1，
解得
故z=-±i.
22.(14分)已知z=1+i，a，b为实数.
(1)若ω=z2+3-4，求|ω|.
(2)若=1-i，求a，b的值.
【解析】(1)ω=(1+i)2+3(1-i)-4=-1-i，
所以|ω|=.
(2)由条件，得=1-i，
所以(a+b)+(a+2)i=1+i，
所以解得
【加练·固】
已知=，求实数a，b.
【解析】已知左边=
=
=(a+b)-abi.
右边=×==5-6i，
所以(a+b)-abi=5-6i.
由两个复数相等的条件可得
解得或
23.(14分)(2019·长沙高二检测)已知复数z满足|z|=，z2的虚部是2.
(1)求复数z.
(2)设z，z2，z-z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积.
【解析】(1)设z=a+bi(a，b∈R)，
则z2=a2-b2+2abi，
由题意得a2+b2=2且2ab=2，
解得a=b=1或a=b=-1，
所以z=1+i或z=-1-i.
(2)当z=1+i时，z2=2i，z-z2=1-i，
所以A(1，1)，B(0，2)，C(1，-1)，
所以S△ABC=1.
当z=-1-i时，z2=2i，z-z2=-1-3i，
所以A(-1，-1)，B(0，2)，C(-1，-3)，
所以S△ABC=1.
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