2019_2020学年新教材高中数学课时跟踪检测四十二两角和与差的正弦余弦正切公式新人教A版必修第一册.doc

课时跟踪检测（四十二） 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
A级——学考水平达标练
1．计算sin 47°cos 17°＋cos 47°cos 107°的结果等于(　　)
A.－　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选D　sin 47°cos 17°＋cos 47°cos(90°＋17°)
＝sin 47°cos 17°＋cos 47°(－sin 17°)＝sin(47°－17°)＝sin 30°＝.
2．sin θ＋sin＋sin的值为(　　)
A．0 B．
C．1 D．2
解析：选A　原式＝sin θ＋sin θcos＋cos θsin＋sin θcos＋cos θsin＝sin θ－sin θ＋cos θ－sin θ－cos θ＝0.
3．若α是锐角，且满足sin＝，则cos α的值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　因为α是锐角，且sin＝＞0，
所以α－也为锐角，
所以cos＝ ＝ ＝，
cos α＝cos＝coscos－sinsin＝×－×＝.
4．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan 2α的值为(　　)
A．－ B．
C． D．－

解析：选A　tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝＝＝＝－.
5．已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且－＜α＜，－＜β＜，则α＋β的值为(　　)
A. B．－
C.或－ D．－或
解析：选B　由一元二次方程根与系数的关系得tan α＋tan β＝－3，tan α·tan β＝4，∴tan α＜0，tan β＜0.
∴tan(α＋β)＝＝＝.
又∵－＜α＜，－＜β＜，且tan α＜0，tan β＜0，
∴－π＜α＋β＜0，∴α＋β＝－.
6.＝________.
解析：原式＝＝＝tan 15°＝tan(45°－30°)＝＝2－.
答案：2－
7．已知sin α＋cos＝，则sin的值是________．
解析：sin α＋cos＝sin α＋cos αcos ＋sin α·sin ＝sin α＋cos α＝＝＝sin＝，所以sin＝.所以sin＝－sin＝－.
答案：－
8．设tan α＝，tan β＝，α，β均为锐角，则α＋2β＝________.

解析：因为tan β＝，
所以tan 2β＝tan(β＋β)＝＝＝，
又因为tan α＝，
所以tan(α＋2β)＝＝＝1.
因为0＜α＜，0＜β＜，所以0＜α＋2β＜，故α＋2β＝.
答案：
9．求下列各式的值．
(1)；
(2)；
(3)tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°.
解：(1)原式＝
＝
＝＝tan 60°＝.
(2)原式＝
＝
＝＝.
(3)由tan(25°＋35°)＝＝，
可得tan 25°＋tan 35°＝(1－tan 25°tan 35°)，
即tan 25°＋tan 35°＋tan 25°·tan 35°＝.
10．已知cos α＝，cos β＝，其中α，β都是锐角．求：
(1)sin(α－β)的值；
(2)tan(α－β)的值．

解：(1)因为α，β都是锐角，所以sin α＝＝，
sin β＝＝，
所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
＝×－×＝.
(2)因为tan α＝＝2，tan β＝＝，
所以tan(α－β)＝＝.
B级——高考水平高分练
1．在△ABC中，如果sin A＝2sin Ccos B，那么这个三角形是(　　)
A．锐角三角形　　　　　 　B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
解析：选C　∵A＋B＋C＝π，∴A＝π－(B＋C)．
由已知可得sin(B＋C)＝2sin Ccos B
⇒sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Ccos B
⇒sin Bcos C－cos Bsin C＝0⇒sin(B－C)＝0.
∵0＜B＜π，0＜C＜π，∴－π＜B－C＜π.
∴B＝C.故△ABC为等腰三角形．
2．若tan α＝2tan，则＝________.
解析：＝＝
＝＝
＝＝＝3.
答案：3

3．已知cos α＝，sin(α－β)＝，且α，β∈.求：
(1)cos(2α－β)的值；
(2)β的值．
解：(1)因为α，β∈，所以α－β∈.
又因为sin(α－β)＝＞0，所以0＜α－β＜.
所以sin α＝＝，
cos(α－β)＝＝.
所以cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β)＝×－×＝.
(2)cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝，
又因为β∈，所以β＝.
4．已知tan α，tan β是方程x2＋p(x＋1)＋1＝0的两根，α＋β∈(0，π)．
(1)求α＋β；
(2)若cos(θ－α－β)＝，θ∈，求sin θ.
解：(1)由根与系数的关系得tan α＋tan β＝－p，tan α·tan β＝p＋1，所以tan(α＋β)＝＝＝1，
因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.
(2)cos(θ－α－β)＝cos＝.由θ∈，
得θ－∈，所以sin＝.
sin θ＝sin＝sincos＋cossin＝×＝.

5.如图，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝2a，在BC上取一点P，使得AB＋BP＝PD，求tan∠APD的值．
解：由AB＋BP＝PD，得a＋BP＝，
解得BP＝a，
设∠APB＝α，∠DPC＝β，
则tan α＝＝，tan β＝＝，
∴tan(α＋β)＝＝－18，
又∠APD＋α＋β＝π，∴tan∠APD＝18.

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