2019_2020学年新教材高中数学第7章复数7.2复数的四则运算课时作业19复数的乘除运算新人教A版必修第二册.doc

课时作业19　复数的乘、除运算

知识点一 复数的乘法运
1.设复数z＝1＋i，则z2－2z等于(　　)
A．－3 B．3 C．－3i D．3i
答案　A
解析　z2－2z＝(1＋i)2－2(1＋i)＝1＋2i－2－2－2i＝－3.
2．复数(1＋i)2(2＋3i)的值为(　　)
A．6－4i B．－6－4i
C．6＋4i D．－6＋4i
答案　D
解析　(1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i.
3．若z(1＋i)＝2i，则z＝(　　)
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
答案　D
解析　由z(1＋i)＝2i，得z＝＝＝＝i(1－i)＝1＋i.故选D.
知识点二 复数的除法运算
4.在复平面内，复数＋(1＋i)2对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　B
解析　＋(1＋i)2＝i＋＋1－3＋2i＝－＋i，对应点在第二象限．
5．若z＝，则复数＝(　　)
A．－2－i B．－2＋i
C．2－i D．2＋i
答案　D
解析　z＝2＋＝2－i，＝2＋i.故选D.
6．若复数(a∈R，i是虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为(　　)
A．－2 B．4
C．－6 D．6
答案　C
解析　∵＝＝为纯虚数，
∴∴a＝－6.
7．复数z满足(1＋i)z＝|i|，其中i为虚数单位，则z的实部与虚部之和为(　　)
A．1 B．0
C. D.
答案　B
解析　由(1＋i)z＝|i|＝1，得z＝＝＝－i，
∴z的实部与虚部分别为，－，和为0.故选B.
8．设z的共轭复数是，若z＋＝4，z·＝8，则等于(　　)
A．i B．－i
C．±1 D．±i
答案　D
解析　令z＝x＋yi(x，y∈R)，则
得或
不难得出＝±i.故选D.
9．复数z＝的共轭复数是(　　)
A．1－i B．1＋i
C．－1＋i D．－1－i
答案　D
解析　z＝＝＝＝－1＋i，所以其共轭复数为＝－1－i.选D.
知识点三 虚数单位i的幂的周期性
10.已知复数z1＝＋i，z2＝－＋i，则z＝－z1z2＋i5在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　A
解析　因为z1＝＋i，z2＝－＋i，
所以z＝－＋i5＝1＋i，所以复数z在复平面内对应的点为(1,1)，位于第一象限．故选A.
11．已知复数z＝，则复数z在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　A
解析　i＋i2＋i3＋i4＝i－1－i＋1＝0，i5＋i6＋i7＋i8＝i＋i2＋i3＋i4＝0，所以i＋i2＋i3＋i4＋…＋i2021＝i.所以z＝＝＝＋i，所以对应点在第一象限，故选A.
12．已知复数z满足(1＋i)z＝1－3i(i是虚数单位)．
(1)求复数z的虚部；
(2)若复数(1＋ai)z是纯虚数，求实数a的值；
(3)若复数z的共轭复数为，求复数的模．
解　(1)由(1＋i)z＝1－3i，
得z＝＝＝＝－1－2i，
∴复数z的虚部为－2.
(2)(1＋ai)z＝(1＋ai)(－1－2i)＝2a－1－(2＋a)i，
∵复数(1＋ai)z是纯虚数，
∴解得a＝.
∴实数a的值为.
(3)由z＝－1－2i，得＝－1＋2i.
则＝＝＝＝－1－i，
∴|z|＝＝.
∴复数的模为.

一、选择题
1．已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z＝(　　)
A．－2－i B．－2＋i
C．2－i D．2＋i
答案　C
解析　z－1＝＝1－i，∴z＝2－i.
2．(1＋i)20－(1－i)20的值是(　　)
A．－1024 B．1024
C．0 D．512
答案　C
解析　(1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝(2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0.
3．已知(i为虚数单位)为纯虚数，则实数a＝(　　)
A．1 B．2
C．－1 D．－2
答案　A
解析　因为＝＝为纯虚数，所以1－a＝0且1＋a≠0，得a＝1.
4．若a为正实数，i为虚数单位，＝2，则a＝(　　)
A．2 B.
C. D．1
答案　B
解析　∵＝(a＋i)(－i)＝1－ai，∴＝|1－ai|＝＝2，解得a＝或a＝－(舍去)．
5．若集合A＝{i，i2，i3，i4}(i是虚数单位)，B＝{1，－1}，则A∩B等于(　　)
A．{－1} B．{1}
C．{1，－1} D．∅
答案　C
解析　因为A＝{i，－1，－i,1}，B＝{1，－1}，所以A∩B＝{1，－1}．
二、填空题
6．已知复数z＝，是z的共轭复数，则的模等于________．
答案　1
解析　由z＝＝＝＝－i，得||＝|z|＝|－i|＝1.
7．若z＝cosθ＋isinθ(i为虚数单位)，则使z2＝－1的θ＝________.
答案　＋kπ，k∈Z
解析　z2＝(cosθ＋isinθ)2＝cos2θ－sin2θ＋2isinθcosθ＝cos2θ＋isin2θ＝－1.
于是
所以2θ＝π＋2kπ，k∈Z，
所以θ＝＋kπ，k∈Z.
8．若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________．
答案　
解析　＝＝＝
＝，
∵为纯虚数，∴
∴a＝.
三、解答题
9．计算＋2020＋.
解　原式＝＋1010＋
＝i＋(－i)1010＋＝i－1＋0＝－1＋i.
10．满足z＋是实数，且z＋3的实部与虚部互为相反数的虚数z是否存在？若存在，求出虚数z；若不存在，请说明理由．
解　存在．
设虚数z＝x＋yi(x，y∈R，且y≠0)，
则z＋＝x＋yi＋
＝x＋＋i.
由已知得∵y≠0，∴
解得或
∴存在虚数z＝－1－2i或z＝－2－i满足以上条件．

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