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课时素养评价
一 集合的概念
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分，共16分，多选题全部选对得4分，选对但不全对的得2分，有选错的得0分)
1.下列各项中，不可以组成集合的是 ( )
A.所有的正数 B.等于2的数
C.接近于0的数 D.不等于0的偶数
【解析】选C. “接近于0”的标准是不确定的，故不能构成集合.
2.(多选题)下列表述正确的是 ( )
A.0∈N B.∈Z C.∈Z D.π∉Q
【解析】选A、D.因为N，Z，Q分别表示自然数集、整数集、有理数集.0是自然数，不是整数，不是整数，π不是有理数，所以0∈N和π∉Q正确.
3.a，b，c，d为集合A的四个元素，那么以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是 ( )
A.矩形 B.平行四边形
C.菱形 D.梯形
【解析】选D.由于集合中的元素具有“互异性”，故a，b，c，d四个元素互不相同，即组成四边形的四条边互不相等.
【加练·固】
若一个集合中的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，则此三角形一定不是 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
【解析】选D.根据集合的性质可知，a≠b≠c，
所以△ABC一定不是等腰三角形.
4.“booknote”中的字母构成一个集合，该集合的元素个数是 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
【解析】选B.根据集合元素的互异性可知，booknote中的不同字母共有“b，o，k，n，t，e”6个，故该集合的元素个数为6.
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.已知集合A是由偶数组成的，集合B是由奇数组成的，若a∈A，b∈B，则a+b_______A，ab_______A.(填“∈”或“∉”)
【解析】因为a∈A，b∈B，所以a是偶数，b是奇数，所以a+b是奇数，ab是偶数，故a+b∉A，ab∈A.
答案：∉ ∈
6.以方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的解为元素的集合中共有________个元素.
【解析】由x2-5x+6=0，
解得x=2或x=3.
由x2-x-2=0，解得x=2或x=-1.
根据集合中元素的互异性可知，共有3个元素.
答案：3
三、解答题(共26分)
7.(12分)设A是由满足不等式x<6的自然数构成的集合，若a∈A且3a∈A，求a的值.
【解析】因为a∈A且3a∈A，
所以解得a<2.
又a∈N，所以a=0或1.
8.(14分)若集合A是由元素-1，3组成的集合，集合B是由方程x2+ax+b=0的解组成的集合，且A=B，求实数a，b.
【解析】因为A=B，
所以-1，3是方程x2+ax+b=0的解.
则解得
(15分钟·30分)
1.(4分)已知集合A中有三个元素2，4，6.且当a∈A时有6-a∈A，那么
a为 ( )
A.2 B.2或4 C.4 D.0
【解析】选B.由集合中元素a∈A时，6-a∈A，则集合中的两元素之和为6，故a=2或4.
2.(4分)若由a2，2 019a组成的集合M中有两个元素，则a的取值可以
是 ( )
A.0 B.2 019
C.1 D.0或2 019
【解析】 选C.若集合M中有两个元素，
则a2≠2 019a.即a≠0且a≠2 019.
3.(4分)用符号“∈”或“∉”填空：
(1)设集合B是小于的所有实数的集合，则2________B，1+________B.
(2)设集合C是满足方程x=n2+1(其中n为正整数)的实数x的集合，则3________C，5________C.
(3)设集合D是满足方程y=x2的有序实数对(x，y)的集合，则-1________D，
(-1，1)________D.
【解析】(1)因为2=>，
所以2∉B；
因为(1+)2=3+2<3+2×4=11，
所以1+<，所以1+∈B.
(2)因为n是正整数，所以n2+1≠3，所以3∉C；
当n=2时，n2+1=5，所以5∈C.
(3)因为集合D中的元素是有序实数对(x，y)，
则-1是数，所以-1∉D；
又(-1)2=1，所以(-1，1)∈D.
答案：(1)∉ ∈ (2)∉ ∈ (3)∉ ∈
4.(4分)由实数x，-x，|x|，，-所组成的集合，最多含________个元素.
【解析】当x>0时，x=|x|=，-=-x<0，此时集合共有2个元素，当x=0时，x=|x|==-=-x=0，此时集合共有1个元素，
当x<0时，=|x|=-=-x，此时集合共有2个元素，综上，此集合最多有2个元素.
答案：2
5.(14分)写出由方程x2-(a+1)x+a=0的解组成的集合A中的元素.
【解析】由方程x2-(a+1)x+a=0得(x-a)(x-1)=0，得x=a或x=1.
(1)当a=1时，方程有两个相同的解x=1，则集合A中只有一个元素1.
(2)当a≠1时，方程有两个解1和a，即集合A中有两个元素1和a.
【加练·固】
设P，Q为两个数集，P中含有0，2，5三个元素，Q中含有1，2，6三个元素，定义集合P+Q中的元素是a+b，其中a∈P，b∈Q，求P+Q中元素的个数.
【解析】当a=0时，由b∈Q可得a+b的值为1，2，6；
当a=2时，由b∈Q可得a+b的值为3，4，8；
当a=5时，由b∈Q可得a+b的值为6，7，11.
由集合元素的互异性可知，P+Q中的元素为1，2，3，4，6，7，8，11，共8个.
1.已知集合M中的元素m都满足条件m=a+b，a，b∈Q，则下列元素中属于集合M的元素个数是 ( )
①m=1+π ②m=
③m= ④m=+
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选B.①m=1+π，π∉Q，
故m∉M；
②m==2+∉M；
③m==1-∈M；
④m=+=∉M.
2.设A是由一些实数构成的集合，若a∈A，则∈A，且1∉A，
(1)若3∈A，求A.
(2)证明：若a∈A，则1-∈A.
【解析】(1)因为3∈A，所以=-∈A，
所以=∈A，
所以=3∈A，
所以A=.
(2)因为a∈A，所以∈A，
所以==1-∈A.
【加练·固】
定义满足“如果a∈A，b∈A，那么a±b∈A，且ab∈A，且∈A(b≠0)”的集合A为“闭集”.试问数集N，Z，Q，R是否分别为“闭集”？若是，请说明理由；若不是，请举反例说明.
【解析】①数集N，Z不是“闭集”，例如，3∈N，2∈N，而=1.5∉N；3∈Z，-2∈Z，而=-1.5∉Z，故N，Z不是闭集.
②数集Q，R是“闭集”.
由于两个有理数a与b的和，差，积，商，
即a±b，ab，(b≠0)仍是有理数，
所以Q是闭集，同理R也是闭集.
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