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课时作业25 立体图形的直观图
知识点一 斜二测画法的概念
1.关于斜二测画法所得直观图的说法正确的是( )
A．直角三角形的直观图仍是直角三角形
B．梯形的直观图是平行四边形
C．正方形的直观图是菱形
D．平行四边形的直观图仍是平行四边形
答案 D
解析 由斜二测画法规则可知，平行于y轴的线段长度减半，直角坐标系变成斜坐标系，而平行性没有改变，故只有D正确．
2．如下图，在斜二测画法下，边长为1的正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是( )
答案 C
解析 C中前者画成斜二测直观图时，底边AB不变，底边AB上的原高h变为，后者画成斜二测直观图时，边AB上的高OC不变，边AB变为原来的，这两个三角形不是全等三角形.
知识点二 有关计算问题
3.已知正三角形ABC的边长为4，那么水平放置的△ABC的直观图△A′B′C′的面积为( )
A．4 B．2
C．4 D．
答案 D
解析 解法一：根据题意，建立如图①所示的平面直角坐标系，再根据斜二测画法画出其直观图，如图②所示．
易知，A′B′＝AB＝4，O′C′＝OC＝，作C′D′⊥A′B′于点D′，则C′D′＝O′C′＝，所以S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×4×＝，故选D．
解法二：通过斜二测画法画出的三角形的直观图的面积与原三角形的面积之比为∶1，因为S△ABC＝×42＝4，所以S△A′B′C′＝S△ABC＝.故选D．
4．如图，梯形A1B1C1D1是平面图形ABCD的直观图，若A1D1∥y′轴，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝1，则梯形ABCD的面积是( )
A．10 B．5
C．5 D．10
答案 B
解析 斜二测画法下的梯形的面积S＝×(2＋3)×1×sin45°＝，根据＝，得S梯形ABCD＝×2＝5，故选B．
知识点三 空间几何体的直观图画法
5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图是( )
答案 B
解析 A项中几何体的正视图与所给三视图不符，排除A；C项中俯视图与所给三视图不符，排除C；D项中几何体的侧视图与所给三视图不符，排除D；经验证，B项中几何体的正视图、侧视图、俯视图与题中所给三视图均符合．故选B．
6．有一个正六棱锥(底面为正六边形，侧面为全等的等腰三角形的棱锥)，底面边长为3 cm，高为5 cm，画出这个正六棱锥的直观图．
解 (1)先画出边长为3 cm的正六边形水平放置的直观图，如图①所示．
(2)过正六边形的中心O′建立z′轴，画出正六棱锥的顶点V′，如图②所示．
(3)连接V′A′，V′B′，V′C′，V′D′，V′E′，V′F′，如图③所示．
(4)擦去辅助线，遮挡部分用虚线表示，即得到正六棱锥的直观图，如图④所示．
一、选择题
1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是( )
A．原来相交的仍相交 B．原来垂直的仍垂直
C．原来平行的仍平行 D．原来共点的仍共点
答案 B
解析 根据斜二侧画法，原来垂直的未必垂直．
2．如果一个三角形的平行投影仍是一个三角形，则下列结论正确的是( )
A．内心的平行投影还是内心
B．重心的平行投影还是重心
C．垂心的平行投影还是垂心
D．外心的平行投影还是外心
答案 B
解析 三角形的重心是三条中线的交点，三角形平行投影后各边的中点位置不会变，故其中线的交点，即重心仍是三角形的重心．
3．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是( )
A．8 cm
B．6 cm
C．2(1＋) cm
D．2(1＋) cm
答案 A
解析 根据直观图的画法，原几何图形如右图所示，四边形OABC为平行四边形，OB＝2 cm，OA＝1 cm，AB＝3 cm，从而原图的周长为8 cm.
4．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )
A．＋ B．1＋
C．1＋ D．2＋
答案 D
解析 等腰梯形A′B′C′D′为水平放置的原平面图形的直观图，作D′E′∥A′B′交B′C′于点E′，由斜二测直观图的画法规则，等腰梯形A′B′C′D′的原平面图形为直角梯形ABCD，如右图，且AB＝2，BC＝1＋，AD＝1，即S梯形ABCD＝2＋.
5．如图是利用斜二测画法画出的△ABO的直观图，已知O′B′＝4，A′B′∥y′轴，且△ABO的面积为16，过A′作A′C′⊥x′轴，则A′C′的长为( )
A．2 B．
C．16 D．1
答案 A
解析 因为A′B′∥y′轴，所以在△ABO中，AB⊥OB．又△ABO的面积为16，所以AB·OB＝16.所以AB＝8，所以A′B′＝4.又∠A′B′C′＝45°，所以A′C′的长为4sin45°＝2.
二、填空题
6．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝3，B′C′∥x′轴，则原平面图形的面积为________．
答案 36
解析 在直观图中，设B′C′与y′轴的交点为D′，则易得O′D′＝3，所以原平面图形为一边长为6，高为6 的平行四边形，所以其面积为6×6＝36.
7.如图所示为一个水平放置的正方形ABCO，在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．
答案
解析 点B′到x′轴的距离等于点A′到x′轴的距离d，而O′A′＝OA＝1，∠C′O′A′＝45°(或135°)，所以d＝O′A′＝.
8．等腰梯形ABCD中，上底CD＝1，腰AD＝CB＝，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________．
答案
解析 如图：
作C′H′⊥A′B′于H′，则
S梯形A′B′C′D′＝(A′B′＋C′D′)·C′H′
＝(AB＋CD)··
＝×(3＋1)×＝.
三、解答题
9．如图，△O′B′C′是水平放置的三角形OBC的斜二测画法的直观图，其中O′B′＝B′C′＝4，∠O′B′C′＝45°.
(1)试画出原三角形OBC；
(2)求△OBC与△O′B′C′的面积比．
解 (1)如图，过C′作y′轴的平行线交x′轴于D′，则C′D′＝C′B′＝4.
画直角坐标系xOy，在x轴上取OB＝O′B′＝4，取OD＝O′D′，过D作y轴的平行线，并截取DC＝2C′D′＝8，连接OC，BC，得△OBC．
(2)S△OBC＝·OB·DC＝×4×8＝16，
S△O′B′C′＝·O′B′·B′C′sin45°
＝×4×4×＝4，
∴＝＝2.
10．(1)已知一个等腰梯形的上底和腰均为，且一个底角为45°，求这个图形的直观图的面积；
(2)已知一个四边形的直观图是一个底角为45°，腰和上底均为的等腰梯形，求原四边形的面积．
解 (1)如图，四边形ABCD为等腰梯形，其中AD＝DC＝，∠DAB＝45°，过D作DH⊥AB，交AB于H点，则DH＝AH＝1，∴AB＝＋2，建立如图所示的直角坐标系及对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°，画出其直观图梯形A′B′C′D′，
则A′B′＝AB＝＋2，C′D′＝，
D′H′＝，h′＝D′H′·sin45°＝，
∴S梯形A′B′C′D′＝＝.
(2)如图是四边形的直观图，则
A′B′＝＋cos45°×2
＝2＋，
A′D′＝，D′C′＝，
则其对应的原四边形为直角梯形，如右图所示，
∴AB＝A′B′＝2＋，
DC＝，AD＝2A′D′＝2，
∴S梯形ABCD＝＝4＋2.
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