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1.5 全称量词与存在量词
一、选择题
1．下列语句不是存在量词命题的是( )
A．有的无理数的平方是有理数
B．有的无理数的平方不是有理数
C．对于任意x∈Z,2x是偶数
D．存在x∈R,2x＋1是奇数
解析：A、B、D中含有存在量词是存在量词命题，C中含有全称量词是全称量词命题．
答案：C
2．判断下列命题是存在量词命题的个数( )
①每一个一次函数都是增函数；
②至少有一个自然数小于1；
③存在一个实数x，使得x2＋2x＋2＝0；
④圆内接四边形，其对角互补．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：①④是全称量词命题，②③是存在量词命题．
答案：B
3．命题“∀x∈[1,2]，x2－3x＋2≤0”的否定为( )
A．∀x∈[1,2]，x2－3x＋2>0
B．∀x∉[1,2]，x2－3x＋2>0
C．∃x∈[1,2]，x2－3x＋2>0
D．∃x∉[1,2]，x2－3x＋2>0
解析：由全称量词命题的否定为存在量词命题知，命题“∀x∈[1,2]，x2－3x＋2≤0”的否定为“∃x∈[1,2]，x2－3x＋2>0”，故选C.
答案：C
4．已知命题p：∃x0>0，x0＋a－1＝0，若p为假命题，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(－∞，1]
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：因为p为假命题，所以綈p为真命题，所以∀x>0，x＋a－1≠0，即x≠1－a，所以1－a≤0，即a≥1，选D.
答案：D
二、填空题
5．下列命题，是全称量词命题的是____________；是存在量词命题的是____________．
①正方形的四条边相等；
②有些等腰三角形是正三角形；
③正数的平方根不等于0；
④至少有一个正整数是偶数．
解析：①③是全称量词命题，②④是存在量词命题．
答案：①③ ②④
6．给出下列四个命题：
①有理数是实数；②有些平行四边形不是菱形；③对任意x∈R，x2－2x>0；④有一个素数含有三个正因数．
以上命题的否定为真命题的序号是________．
解析：写出命题的否定，易知③④的否定为真命题，或者根据命题①、②是真命题，③、④为假命题，再根据命题与它的否定一真一假，可得③④的否定为真命题．
答案：③④
7．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是________．
解析：全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题的否定为“∃x∈R，|x|＋x2<0”．
答案：∃x∈R，|x|＋x2<0
三、解答题
8．用量词符号表述下列命题：
(1)任意一个实数乘以－1都等于它的相反数；
(2)对任意实数x，都有x3>x2；
(3)有些整数既能被2整除，又能被3整除；
(4)某个四边形不是平行四边形．
解析：(1)∀x∈R，x·(－1)＝－x.
(2)∀x∈R，x3>x2.
(3)∃x0∈Z，x0既能被2整除，又能被3整除．
(4)∃x0∈{x|x是四边形}，x0不是平行四边形．
9．判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题：
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)有的梯形对角线相等；
(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；
(4)有一个函数，图象是直线；
(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．
解析：(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称量词命题．
(2)含有存在量词“有的”，故是存在量词命题．
(3)含有全称量词“任意”，故是全称量词命题．
(4)含有存在量词“有一个”，故为存在量词命题．
(5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题．
[尖子生题库]
10．判断下列命题的真假，并写出它们的否定：
(1)∀α，β∈R，sin(α＋β)≠sin α＋sin β；
(2)∃x，y∈Z,3x－4y＝20；
(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解；
(4)正数的绝对值是它本身．
解析：(1)由于α＝β＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β，所以命题为假命题，
否定为：∃α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β；
(2)真命题，否定为：∀x，y∈Z,3x－4y≠20；
(3)真命题，否定为：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解；
(4)是全称量词命题，省略了量词“所有”，命题为真命题．否定为：有的正数的绝对值不是它本身．
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