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课时作业28 球的表面积和体积
知识点一 球的表面积
1.如果两个球的半径之比为1∶3，那么这两个球的表面积之比为( )
A．1∶9 B．1∶27 C．1∶3 D．1∶1
答案 A
解析 设这两个球的表面积分别为S1，S2，半径分别为r1，r2，则＝＝2＝2＝.
2．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 设球的半径为R，所得的截面为圆M，圆M的半径为r.
画图可知，R2＝R2＋r2，∴R2＝r2.
又S球＝4πR2，截面圆M的面积为πr2＝πR2，
∴所得截面的面积与球的表面积的比为＝.故选A.
知识点二 球的体积
3.三个球的半径的比为1∶2∶3，那么最大的球的体积是其他两个球的体积和的( )
A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍
答案 C
解析 ∵三个球的半径之比是1∶2∶3，
∴可设三个球的半径依次为r,2r,3r，
根据球的体积公式，得它们的体积分别为
V1＝πr3，V2＝π(2r)3＝πr3，V3＝π(3r)3＝36πr3，
∴两个较小球的体积之和为V1＋V2＝πr3＋πr3＝12πr3，
由此可得，最大的球的体积与另两个球的体积之和的比为36πr3∶12πr3＝3∶1.
4．若将球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积扩大到原来的( )
A．2倍 B．4倍 C．8倍 D．16倍
答案 C
解析 设球原来的半径为r，体积为V，则V＝πr3.当球的半径扩大到原来的2倍后，其体积变为π·(2r)3＝8×πr3.故选C.
知识点三 与球有关的组合体问题
5.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )
A．9π＋42 B．36π＋18
C.＋12 D.＋18
答案 D
解析 该几何体的上部是一个半径为的球，下部是一个底面边长为3，高为2的正四棱柱，故其体积为π×3＋3×3×2＝＋18.
6．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为( )
A.＋ B.＋
C.＋ D.＋
答案 C
解析 由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥，下部分是半球(如图)，所以根据三视图中的数据可得V＝××3＋××1×1×1＝＋.故选C.
知识点四 球的切、接问题
7.已知一个表面积为24的正方体，假设有一个与该正方体每条棱都相切的球，则此球的体积为( )
A. B．4π
C. D.
答案 D
解析 设正方体的棱长为a，则6a2＝24，解得a＝2.又球与正方体的每条棱都相切，则正方体的面对角线长为2，等于球的直径长，所以球的半径长是，所以此球的体积为π×()3＝.
8．已知球与棱长均为3的三棱锥的各条棱都相切，则该球的表面积为________．
答案
解析 可采用补体的方法，如图，先画一个正方体，正方体的棱长为，那么正方体的面对角线长为3，取四点构成棱长为3的三棱锥，
若与三棱锥的各棱均相切，即与正方体的各面相切，所以正方体的内切球就是所求的球，球的半径为正方体棱长的一半，即，这样球的表面积为S＝4πR2＝4π×2＝.
9．已知球的半径为R，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱的底面半径与高为何值时，它的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？
解 如图为其轴截面，令圆柱的高为h，底面半径为r，侧面积为S，则2＋r2＝R2，即h＝2.因为S＝2πrh＝4πr·
＝4π≤4π
＝2πR2，当且仅当r2＝R2－r2，即r＝R时，取等号．所以当内接圆柱底面半径为R，高为R时，其侧面积的值最大，最大值为2πR2.
一、选择题
1．64个半径都为的球，记它们的体积之和为V甲，表面积之和为S甲；一个半径为a的球，记其体积为V乙，表面积为S乙，则( )
A．V甲>V乙且S甲>S乙 B．V甲<V乙且S甲<S乙
C．V甲＝V乙且S甲>S乙 D．V甲＝V乙且S甲＝S乙
答案 C
解析 64个半径都为的球，它们的体积之和为V甲＝64×π3＝πa3，表面积之和为S甲＝64×4π2＝16πa2；一个半径为a的球，其体积为V乙＝πa3，表面积为S乙＝4πa2.所以V甲＝V乙且S甲>S乙，故选C.
2．两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，则这两个球的半径之差为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 设两个球的半径分别为R1，R2，且R1>R2，则4π(R－R)＝48π，2π(R1＋R2)＝12π，所以R1－R2＝2.
3．正方体的内切球与外接球的体积之比为( )
A．1∶3 B．1∶
C．1∶3 D．1∶2
答案 C
解析 设正方体的棱长为a，则其内切球的半径为a，外接球的半径为a，所以内切球与外接球的体积之比为＝ .
4．已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为( )
A. B．4π
C．2π D.
答案 D
解析 因为该正四棱柱的外接球的半径是该正四棱柱体对角线长的一半，所以半径r＝ ＝1，所以V球＝×13＝.
5．一平面截一球得到直径为2 cm的圆面，球心到这个平面的距离是2 cm，则该球的体积是( )
A．12π cm3 B．36π cm3
C．64π cm3 D．108π cm3
答案 B
解析 设球心为O，截面圆心为O1，连接OO1，则OO1垂直于截面圆O1.如图所示，
在Rt△OO1A中，O1A＝ cm，OO1＝2 cm，
∴球的半径R＝OA＝ ＝3(cm)，
∴球的体积V＝×π×33＝36π(cm3)．
二、填空题
6．如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为________．
答案
解析 由三视图可知该几何体是一个组合体，上部分是半径为1的球的，其体积V1＝××13＝；下部分是底面半径为1，高为1的圆柱，其体积V2＝π×12×1＝π.所以该几何体的体积V＝V1＋V2＝.
7．一个球与一个正三棱柱(底面为等边三角形，侧棱与底面垂直)的两个底面和三个侧面都相切，若棱柱的体积为48，则球的表面积为________．
答案 16π
解析 根据题意可知球的直径等于正三棱柱的高，三棱柱底面正三角形三边中点组成的正三角形全等于球内大圆的内接正三角形．设正三棱柱底面边长为a，高为h，球的半径为R.由正三棱柱的体积V＝a2h＝48，得a2h＝192，又h＝2R，R＝a，所以(2R)2·2R＝192，所以R＝2，所以球的表面积为S＝4πR2＝16π.
8．如图，若球O的半径为5，一个内接圆台的两底面半径分别为3和4(球心O在圆台的两底面之间)，则圆台的体积为________．
答案
解析 作经过球心的截面(如图)，由题意得O1A＝3，O2B＝4，OA＝OB＝5，则OO1＝4，OO2＝3，O1O2＝7，所以V＝×(32＋＋42)×7＝.
三、解答题
9．若一个底面边长为，侧棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，求该球的体积和表面积．
解 在底面正六边形ABCDEF中，连接BE，AD交于O，连接BE1，
则BE＝2OE＝2DE＝，
在Rt△BEE1中，
BE1＝＝2，
所以球的直径2R＝2，则R＝，
所以球的体积为V球＝πR3＝4π，
球的表面积S球＝4πR2＝12π.
10．如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一个几何体，求该几何体的表面积(其中∠BAC＝30°)及其体积．
解 如图所示，过点C作CO1⊥AB于点O1，在半圆中可得∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2R，
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