1、课时作业28球的表面积和体积知识点一球的表面积1.如果两个球的半径之比为13，那么这两个球的表面积之比为()A19 B127 C13 D11答案A解析设这两个球的表面积分别为S1，S2，半径分别为r1，r2，则22.2过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为()A. B. C. D.答案A解析设球的半径为R，所得的截面为圆M，圆M的半径为r.画图可知，R2R2r2，R2r2.又S球4R2，截面圆M的面积为r2R2，所得截面的面积与球的表面积的比为.故选A.知识点二 球的体积3.三个球的半径的比为123，那么最大的球的体积是其他两个球的体积和的()A1倍 B
2、2倍 C3倍 D4倍答案C解析三个球的半径之比是123，可设三个球的半径依次为r,2r,3r，根据球的体积公式，得它们的体积分别为V1r3，V2(2r)3r3，V3(3r)336r3，两个较小球的体积之和为V1V2r3r312r3，由此可得，最大的球的体积与另两个球的体积之和的比为36r312r331.4若将球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积扩大到原来的()A2倍 B4倍 C8倍 D16倍答案C解析设球原来的半径为r，体积为V，则Vr3.当球的半径扩大到原来的2倍后，其体积变为(2r)38r3.故选C.知识点三 与球有关的组合体问题5.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A942
3、B3618C.12 D.18答案D解析该几何体的上部是一个半径为的球，下部是一个底面边长为3，高为2的正四棱柱，故其体积为333218.6已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为()A. B.C. D.答案C解析由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥，下部分是半球(如图)，所以根据三视图中的数据可得V3111.故选C.知识点四 球的切、接问题7.已知一个表面积为24的正方体，假设有一个与该正方体每条棱都相切的球，则此球的体积为()A. B4C. D.答案D解析设正方体的棱长为a，则6a224，解得a
4、2.又球与正方体的每条棱都相切，则正方体的面对角线长为2，等于球的直径长，所以球的半径长是，所以此球的体积为()3.8已知球与棱长均为3的三棱锥的各条棱都相切，则该球的表面积为_答案解析可采用补体的方法，如图，先画一个正方体，正方体的棱长为，那么正方体的面对角线长为3，取四点构成棱长为3的三棱锥，若与三棱锥的各棱均相切，即与正方体的各面相切，所以正方体的内切球就是所求的球，球的半径为正方体棱长的一半，即，这样球的表面积为S4R242.9已知球的半径为R，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱的底面半径与高为何值时，它的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？解如图为其轴截面，令圆柱的高为h，底面半径为r，侧
5、面积为S，则2r2R2，即h2.因为S2rh4r44 2R2，当且仅当r2R2r2，即rR时，取等号所以当内接圆柱底面半径为R，高为R时，其侧面积的值最大，最大值为2R2.一、选择题164个半径都为的球，记它们的体积之和为V甲，表面积之和为S甲；一个半径为a的球，记其体积为V乙，表面积为S乙，则()AV甲V乙且S甲S乙 BV甲V乙且S甲S乙 DV甲V乙且S甲S乙答案C解析64个半径都为的球，它们的体积之和为V甲643a3，表面积之和为S甲644216a2；一个半径为a的球，其体积为V乙a3，表面积为S乙4a2.所以V甲V乙且S甲S乙，故选C.2两个球的表面积之差为48，它们的大圆周长之和为12
6、，则这两个球的半径之差为()A1 B2 C3 D4答案B解析设两个球的半径分别为R1，R2，且R1R2，则4(RR)48，2(R1R2)12，所以R1R22.3正方体的内切球与外接球的体积之比为()A13 B1C13 D12答案C解析设正方体的棱长为a，则其内切球的半径为a，外接球的半径为a，所以内切球与外接球的体积之比为 .4已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为()A. B4C2 D.答案D解析因为该正四棱柱的外接球的半径是该正四棱柱体对角线长的一半，所以半径r 1，所以V球13.5一平面截一球得到直径为2 cm的圆面，球心到这个平面的距离是2 cm，
7、则该球的体积是()A12 cm3 B36 cm3C64 cm3 D108 cm3答案B解析设球心为O，截面圆心为O1，连接OO1，则OO1垂直于截面圆O1.如图所示，在RtOO1A中，O1A cm，OO12 cm，球的半径ROA 3(cm)，球的体积V3336(cm3)二、填空题6如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为_答案解析由三视图可知该几何体是一个组合体，上部分是半径为1的球的，其体积V113；下部分是底面半径为1，高为1的圆柱，其体积V2121.所以该几何体的体积VV1V2.7一个球与一个正三棱柱(底面为等边三角形，侧棱与底面垂直)的两个底面和三个侧面都相切，若棱柱的体积为48，则
8、球的表面积为_答案16解析根据题意可知球的直径等于正三棱柱的高，三棱柱底面正三角形三边中点组成的正三角形全等于球内大圆的内接正三角形设正三棱柱底面边长为a，高为h，球的半径为R.由正三棱柱的体积Va2h48，得a2h192，又h2R，Ra，所以(2R)22R192，所以R2，所以球的表面积为S4R216.8如图，若球O的半径为5，一个内接圆台的两底面半径分别为3和4(球心O在圆台的两底面之间)，则圆台的体积为_答案解析作经过球心的截面(如图)，由题意得O1A3，O2B4，OAOB5，则OO14，OO23，O1O27，所以V(3242)7.三、解答题9若一个底面边长为，侧棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，求该球的体积和表面积解在底面正六边形ABCDEF中，连接BE，AD交于O，连接BE1，则BE2OE2DE，在RtBEE1中，BE12，所以球的直径2R2，则R，所以球的体积为V球R34，球的表面积S球4R212.10如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一个几何体，求该几何体的表面积(其中BAC30)及其体积解如图所示，过点C作CO1AB于点O1，在半圆中可得BCA90，BAC30，AB2R，- 8 -
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