1、第2课时 球的体积和表面积A基础达标1两个球的体积之比为827，那么这两个球的表面积之比为()A23B49C. D.解析：选B.设两个球的半径分别为r，R，则r3R3827，所以rR23，所以S1S2r2R249.2已知球的表面积为16，则它的内接正方体的表面积S的值是()A4 B32C24 D12解析：选B.设球的内接正方体的棱长为a，由题意知球的半径为2，则3a216，所以a2，正方体的表面积S6a2632.3用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为()A. B.C8 D.解析：选D.设截面圆的半径为r，则r2，故r1，由勾股定理求得球的半径为，所以球的体积为()3，故
2、选D.4把一个铁制的底面半径为r，高为h的实心圆锥熔化后铸成一个铁球，则这个铁球的半径为()A. B.C. D.解析：选C.设铁球的半径为 R，因为r2hR3，所以R .5已知A，B是球O的球面上两点，且球的半径为3，AOB90，C为该球面上的动点当三棱锥OABC的体积取得最大值时，则过A，B，C三点的截面的面积为()A6 B12C18 D36解析：选A.因为O为球心，AOB90，所以截面AOB为球大圆，所以当动点C满足OC平面OAB时，三棱锥OABC的体积最大，此时，OAOBOCR3，则ABACBC3，所以截面ABC的圆心O为ABC的中心，所以圆O的半径rOC3，所以截面ABC的面积为()2
3、6，故选A.6已知球面上的四点P、A、B、C，PA、PB、PC的长分别为3、4、5，且这三条线段两两垂直，则这个球的表面积为_解析：球面上的四点P、A、B、C，PA、PB、PC的长分别为3、4、5，且这三条线段两两垂直，是长方体的一个角，扩展为长方体，两者的外接球相同，长方体的对角线长为5，外接球的半径为.外接球的表面积为450.答案：507若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为S1、S2，则_解析：由题意可得圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设球的半径为1，则S16，S24.所以.答案：8.圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面
4、半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是_cm.解析：设球的半径为x cm，由题意得x28x26xx33，解得x4.答案：49某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r1，l3，试求该组合体的表面积和体积解：该组合体的表面积S4r22rl41221310，该组合体的体积Vr3r2l13123.10若一个底面边长为，侧棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，求该球的体积和表面积解：如图，在底面正六边形ABCDEF中，连接BE，AD交于O，连接BE1，则BE2OE2DE，所以BE，在RtBEE1中，BE12，所以2R2，则R，所以球的体积V球R3
5、4，球的表面积S球4R212.B能力提升11若等边圆柱(轴截面是正方形)、球、正方体的体积相等，则它们的表面积的大小关系是()AS球S圆柱S正方体BS正方体S球S圆柱CS圆柱S球S正方体 DS球S正方体S圆柱解析：选A.设等边圆柱底面圆半径为r，球半径为R，正方体棱长为a，则r22rR3a3，2，S圆柱6r2，S球4R2，S正方体6a2， 1， 1.故选A.12一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为，那么这个正三棱柱的体积是()A96 B16C24 D48解析：选D.由题意可知正三棱柱的高等于球的直径，从棱柱中间平行棱柱底面截得球的大圆内切于正三角形，正三角形与棱柱
6、底的三角形全等，设三角形边长为a，球半径为r，由V球r3，得r2.由S柱底ar3a2，得a2r4，所以V柱S柱底2r48.13如图，ABCD 是正方形，是以 A 为圆心、AB 为半径的弧，将正方形 ABCD 以 AB 为轴旋转一周，则图中 、 三部分旋转所得旋转体的体积之比为_解析：生成圆锥，生成的是半球去掉圆锥，生成的是圆柱去掉扇形 ABD 生成的半球设正方形的边长为 a，则、 三部分旋转所得旋转体的体积分别为 V、V、V，则 Va3，Va32a3a3，Va3a32a3.所以三部分所得旋转体的体积之比为 111.答案： 11114将一个底面圆的直径为2、高为1的圆柱截成横截面为长方形的棱柱(
7、如图)，设这个长方形截面的一条边长为x，对角线长为2，截面的面积为A.(1)求面积A以x为自变量的函数关系式；(2)求出截得棱柱的体积的最大值解：(1)横截面如图长方形所示，由题意得Ax(0x2)(2)V1x，由上述知0x2，所以当x时，Vmax2.即截得棱柱的体积的最大值为2. C拓展探究15如图是某几何体的三视图(1)求该几何体外接球的体积；(2)求该几何体内切球的半径解：(1)由三视图可知，该几何体是三条侧棱两两垂直的三棱锥，如图，以DC，DB，DA为长、宽、高构造一个长方体，则该长方体的外接球就是该三棱锥的外接球，即外接球的半径R，所以该几何体外接球的体积VR3.(2)设内切球的球心为O，半径为r，则VABCDVOADBVOADCVODCBVOABC.即22122r2r2r2r，得r.所以该几何体内切球的半径为.- 6 -
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