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4.5.3 函数模型的应用
一、选择题
1．用二分法求如图所示函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是( )
A．x1 B．x2
C．x3 D．x4
解析：观察图象可知：零点x3的附近两边的函数值都为负值，所以零点x3不能用二分法求出．
答案：C
2．已知图象连续不断的函数y＝f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点(精确度0.01)的近似值，则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：由＜0.01，得2n＞10，
所以n的最小值为4.故选B.
答案：B
3．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)＝－0.984
f(1.375)＝－0.260
f(1.438)＝0.165
f(1.406 5)＝－0.052
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确到0.1)为( )
A．1.2 B．1.3
C．1.4 D．1.5
解析：由表知f(1.438)＞0，f(1.406 5)＜0且在[1.406 5，1.438]内每一个数若精确到0.1都是1.4，则方程的近似根为1.4.
答案：C
4．如图所示给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是( )
A．指数函数：y＝2t B．对数函数：y＝log2t
C．幂函数：y＝t3 D．二次函数：y＝2t2
解析：由散点图可知，与指数函数拟合最贴切，故选A.
答案：A
二、填空题
5．用二分法求函数f(x)在区间[0,2]上零点的近似解，若f(0)·f(2)＜0，取区间中点x1＝1，计算得f(0)·f(x1)＜0，则此时可以判定零点x0∈________(填区间)．
解析：由二分法的定义，根据f(0)f(2)＜0，f(0)·f(x1)＜0，
故零点所在区间可以为(0，x1)．
答案：(0，x1)
6．据报道，青海湖水在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2013年的湖水量为m，从2013年起，过x年后湖水量y与x的函数关系是________．
解析：设湖水量每年为上年的q%，
则(q%)50＝0.9，
所以q%＝0.9，所以x年后湖水量y＝m·(q%)x＝m·0.9.
答案：y＝0.9·m
7．已知二次函数f(x)＝x2－x－6在区间[1,4]上的图象是一条连续的曲线，且f(1)＝－6＜0，f(4)＝6＞0，由函数零点的性质可知函数在[1,4]内有零点，用二分法求解时，取(1,4)的中点a，则f(a)＝________.
解析：显然(1,4)的中点为2.5，则f(a)＝f(2.5)＝2.52－2.5－6＝－2.25.
答案：－2.25
三、解答题
8．用二分法求方程x2－5＝0的一个近似正解．(精确度为0.1)
解析：令f(x)＝x2－5，因为f(2.2)＝－0.16＜0，f(2.4)＝0.76＞0，
所以f(2.2)·f(2.4)＜0，
即这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0，
取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，
f(2.3)＝0.29，因为f(2.2)·f(2.3)＜0，所以x0∈(2.2,2.3)，再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，f(2.25)＝0.062 5，因为f(2.2)·f(2.25)＜0，所以x0∈(2.2,2.25)，由于|2.25－2.2|＝0.05＜0.1，所以原方程的近似正解可取2.25.
9．某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据.
x
1.99
3
4
5.1
8
y
0.99
1.58
2.01
2.35
3.00
现有如下5个模拟函数：
①y＝0.58x－0.16；②y＝2x－3.02；③y＝x2－5.5x＋8；④y＝log2x；⑤y＝x＋1.74.
请从中选择一个模拟函数，使它比较近似地反映这些数据的规律．
解析：画出散点图如图所示．
由图可知，上述点大体在函数y＝log2x上(对于y＝0.58x－0.16，可代入已知点验证不符合)，故选择y＝log2x可以比较近似地反映这些数据的规律．
[尖子生题库]
10．用二分法求方程ln x＝在[1,2]上的近似解，取中点c＝1.5，求下一个有根区间．
解析：令f(x)＝ln x－，
f(1)＝－1＜0，f(2)＝ln 2－＝ln＞ln 1＝0，
f(1.5)＝ln 1.5－＝(ln 1.53－2)．
因为1.53＝3.375，e2＞4＞1.53，
故f(1.5)＝(ln 1.53－2)＜(ln e2－2)＝0，
f(1.5)f(2)＜0，下一个有根区间是[1.5,2]．
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