资源描述
4.5.2 用二分法求方程的近似解
[A 基础达标]
1．用二分法求函数f(x)＝2x－3的零点时，初始区间可选为( )
A．(－1，0) B．(0，1)
C．(1，2) D．(2，3)
解析：选C.f(－1)＝－<0，f(0)＝－2<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝1>0，f(3)＝5>0，则f(1)·f(2)<0，即初始区间可选(1，2)．
2．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2，4)上的唯一零点的近似值时，验证f(2)·f(4)<0，取区间(2，4)的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0所在的区间是( )
A．(2，4) B．(2，3)
C．(3，4) D．无法确定
解析：选B.因为f(2)·f(4)<0，f(2)·f(3)<0，
所以f(3)·f(4)>0，所以x0∈(2，3)．
3．用二分法求方程x3＋3x－7＝0在(1，2)内的近似解的过程中，构造函数f(x)＝x3＋3x－7，算得f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，f(1.75)>0，则该方程的根所在的区间是( )
A．(1，1.25) B．(1.25，1.5)
C．(1.5，1.75) D．(1.75，2)
解析：选B.由f(1.25)<0，f(1.5)>0得f(1.25)·f(1.5)<0，易知函数f(x)的图象是连续不断的，根据零点存在性定理可知，函数f(x)的一个零点x0∈(1.25，1.5)，即方程x3＋3x－7＝0的根所在的区间是(1.25，1.5)，故选B.
4．用二分法逐次计算函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个零点(正数)附近的函数值时，参考数据如下：
f(1)＝－2，f(1.5)＝0.625，f(1.25)≈－0.984，f(1.375)≈－0.260，f(1.437 5)≈0.162，f(1.406 25)≈－0.054，那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确度为0.04)为( )
A．1.5 B．1.25
C．1.375 D．1.437 5
解析：选D.由参考数据知，f(1.406 25)≈－0.054，f(1.437 5)≈0.162，则f(1.406 25)·f(1.437 5)<0，且|1.437 5－1.406 25|＝0.031 25<0.04，所以方程的一个近似解可取为1.437 5，故选D.
5．函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是________．
解析：因为函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法，所以函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象与x轴相切，
所以Δ＝a2－4b＝0，所以a2＝4b.
答案：a2＝4b
6．在用二分法求方程f(x)＝0在[0，1]上的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687 5)<0，即可得出方程的一个近似解为________(精确度为0.1)．
解析：因为|0.75－0.625|＝0.125>0.1，|0.75－0.687 5|＝0.062 5<0.1，方程的近似解可以是0.75.
答案：0.75
7．某同学在借助计算器求“方程lg x＝2－x的近似解(精确度0.1)”时，设f(x)＝lg x＋x－2，算得f(1)＜0，f(2)＞0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是________．
解析：第一次用二分法计算得区间(1.5，2)，第二次得区间(1.75，2)，第三次得区间(1.75，1.875)，
第四次得区间(1.75，1.812 5)．
答案：1.5，1.75，1.875，1.812 5
8．已知A地到B地的电话线路发生故障(假设线路只有一处发生故障)，这是一条10 km长的线路，每隔50 m有一根电线杆，如何迅速查出故障所在？
解：如图，可首先从中点C开始检查，若AC段正常，则故障在BC段；再到BC段中点D检查，若CD段正常，则故障在BD段；再到BD段中点E检查，如此这般，每检查一次就可以将待查的线路长度缩短一半，经过7次查找，即可将故障范围缩小到50～100 m之间，即可迅速找到故障所在．
9．已知函数f(x)＝x3－x2＋1.
(1)证明方程f(x)＝0在区间(0，2)内有实数解；
(2)使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f(x)＝0(x∈[0，2])的实数解x0在哪个较小的区间内．
解：(1)证明：因为f(0)＝1>0，f(2)＝－<0，
所以f(0)·f(2)<0，
由函数的零点存在性定理可得方程f(x)＝0在区间(0，2)内有实数解．
(2)取x1＝(0＋2)＝1，得f(1)＝>0，
由此可得f(1)·f(2)<0，下一个有解区间为(1，2)．
再取x2＝(1＋2)＝，得f＝－<0，
所以f(1)·f<0，下一个有解区间为.
再取x3＝＝，
得f＝>0，所以f·f<0，下一个有解区间为.
综上所述，得所求的实数解x0在区间内．
[B 能力提升]
10．用二分法求函数f(x)＝ln(x＋1)＋x－1在区间(0，1)上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：选C.开区间(0，1)的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为.因为精确度为0.01，所以<0.01，
又n∈N*，所以n≥7，且n∈N*，故所需二分区间的次数最少为7，故选C.
11．用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间(a，b)内，当|a－b|＜ε(ε为精确度)时，函数零点的近似值x0＝与真实零点的误差最大不超过( )
A. B.
C．ε D．2ε
解析：选B.真实零点离近似值x0最远即靠近a或b，而b－＝－a＝＜，因此误差最大不超过.
12．证明函数f(x)＝2x＋3x－6在区间[1，2]内有唯一零点，并求出这个零点(精确度0.1)．
解：由于f(1)＝－1＜0，f(2)＝4＞0，又函数f(x)在[1，2]内是增函数，所以函数f(x)在区间[1，2]内有唯一零点，不妨设为x0，则x0∈[1，2]．下面用二分法求解．
(a，b)
(a，b)
的中点
f(a)
f(b)
f
(1，2)
1.5
f(1)＜0
f(2)＞0
f(1.5)＞0
(1，1.5)
1.25
f(1)＜0
f(1.5)＞0
f(1.25)＞0
(1，1.25)
1.125
f(1)＜0
f(1.25)＞0
f(1.125)＜0
(1.125，1.25)
1.187 5
f(1.125)＜0
f(1.25)＞0
f(1.187 5)＜0
因为|1.187 5－1.25|＝0.062 5＜0.1，所以函数f(x)＝2x＋3x－6的精确度为0.1的近似零点可取为1.25.
13．已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，证明a>0，并利用二分法证明方程f(x)＝0在区间[0，1]内有两个实根．
证明：因为f(1)>0，所以3a＋2b＋c>0，
即3(a＋b＋c)－b－2c>0.
因为a＋b＋c＝0，所以－b－2c>0，
则－b－c>c，即a>c.
因为f(0)>0，所以c>0，则a>0.
在区间[0，1]内选取二等分点，
则f＝a＋b＋c＝a＋(－a)＝－a<0.
因为f(0)>0，f(1)>0，
所以函数f(x)在区间和上各有一个零点．又f(x)最多有两个零点，从而f(x)＝0在[0，1]内有两个实根．
[C 拓展探究]
14．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，且f(1)＝－.
(1)求证：函数f(x)有两个零点；
(2)设x1，x2是函数的两个零点，求|x1－x2|的取值范围．
解：(1)证明：由函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)且f(1)＝－，
得a＋b＋c＝－，则c＝－－b.
对于方程ax2＋bx＋c＝0，因为a>0，所以Δ＝b2－4ac＝b2＋6a2＋4ab＝(b＋2a)2＋2a2>0，所以函数f(x)有两个零点．
(2)显然x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的两个实数根，则由根与系数的关系得x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以|x1－x2|＝
＝＝
＝
＝
＝≥.
则|x1－x2|的取值范围是[，＋∞)．
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