2019_2020学年新教材高中数学课时跟踪检测十二次函数与一元二次方程不等式新人教A版必修第一册.doc

课时跟踪检测（十） 二次函数与一元二次方程、不等式
A级——学考水平达标练
1．设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x>0}，则S∩T＝(　　)
A．{x|2≤x≤3}　　　 　B．{x|x≤2或x≥3}
C．{x|x≥3} D．{x|0<x≤2或x≥3}
解析：选D　集合S＝{x|x≤2或x≥3}，结合数轴，可得S∩T＝{x|0<x≤2或x≥3}．
2．下列四个不等式：
①－x2＋x＋1≥0；②x2－2x＋>0；③x2＋6x＋10>0；④2x2－3x＋4<1.其中解集为R的是(　　)
A．①　　　　　　　　　 　B．②
C．③ D．④
解析：选C　①显然不可能；②中Δ＝(－2)2－4×>0，解集不为R；③中Δ＝62－4×10<0.满足条件；④中不等式可化为2x2－3x＋3<0，所对应的二次函数开口向上，显然不可能．故选C.
3．若0<t<1，则不等式(x－t)<0的解集为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　∵0<t<1，∴t<，∴不等式的解集为.
4．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2,3，a<0，那么ax2＋bx＋c>0的解集为(　　)
A．{x|x>3或x<－2} B．{x|x>2或x<－3}
C．{x|－2<x<3} D．{x|－3<x<2}
解析：选C　由题意知，－2＋3＝－，－2×3＝，∴b＝－a，c＝－6a，∴ax2＋bx＋c＝ax2－ax－6a>0，∵a<0，∴x2－x－6<0，∴(x－3)(x＋2)<0，∴－2<x<3.
5．若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0<x<240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是(　　)
A．100台 B．120台
C．150台 D．180台
解析：选C　由条件知y－25x＝(3 000＋20x－0.1x2)－25x＝－0.1x2－5x＋3 000. 若生产者不亏本，则需－0.1x2－5x＋3 000≤0，即x2＋50x－30 000≥0. ∴(x＋200)(x－150)≥0. 解得x≥150或x≤－200(舍去)．∴最低产量为150台．
6．要使有意义，则x的解集为________．
解析：由7－6x－x2>0，得x2＋6x－7<0，即(x＋7)(x－1)<0，所以－7<x<1.
答案：{x|－7<x<1}
7．已知集合A＝{x|3x－2－x2<0}，B＝{x|x－a<0}，且B⊆A，则a的取值范围为________．
解析：A＝{x|3x－2－x2<0}＝{x|x2－3x＋2>0}＝{x|x<1或x>2}，B＝{x|x<a}．若B⊆A，如图，则a≤1.

答案：{a|a≤1}
8．若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的非空解集为{x|1<x<m}，则m＝________.
解析：因为ax2－6x＋a2<0的解集为{x|1<x<m}．
所以a>0，且1与m是方程ax2－6x＋a2＝0的根．
则即1＋m＝.
所以m2＋m－6＝0，解得m＝－3或m＝2，
当m＝－3时，a＝m<0(舍去)，故m＝2.
答案：2
9．解下列不等式：
(1)2x2＋7x＋3>0；
(2)－4x2＋18x－≥0;
(3)－2x2＋3x－2<0;
(4)－x2＋3x－5>0.
解：(1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，
所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－.
又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，
所以原不等式的解集为.
(2)原不等式可化为2≤0，
所以原不等式的解集为.
(3)原不等式可化为2x2－3x＋2>0，
因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，
所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，
又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，
所以原不等式的解集为R.
(4)原不等式可化为x2－6x＋10<0，Δ＝(－6)2－40＝－4<0，所以方程x2－6x＋10＝0无实根，又二次函数y＝x2－6x＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅.
10．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天能获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？
解：设每盏台灯售价x元，则x≥15，并且日销售收入为x[30－2(x－15)]，由题意知，当x≥15时，有x[30－2(x－15)]>400，解得15≤x<20.
所以为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，制定这批台灯的销售价格应满足条件15≤x<20.
B级——高考水平高分练
1．设x2－2x＋a－8≤0对于任意x∈{x|1≤x≤3}恒成立，则a的取值范围是________．
解析：原不等式x2－2x＋a－8≤0转化为a≤－x2＋2x＋8对任意x∈{x|1≤x≤3}恒成立，设y＝－x2＋2x＋8，易知y在{x|1≤x≤3}上的最小值为5.∴a≤5.
答案：{a|a≤5}
2．对于实数x，当且仅当n≤x<n＋1(n∈N*)时，[x]＝n，则关于x的不等式4[x]2－36[x]＋45<0的解集为________．
解析：由4[x]2－36[x]＋45<0，得<[x]<，又当且仅当n≤x<n＋1(n∈N*)时，[x]＝n，所以[x]＝2,3,4,5,6,7，所以所求不等式的解集为{x|2≤x<8}．
答案：{x|2≤x<8}
3．解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0.
解：原不等式可化为(x－a)(x－a2)>0.
则方程x2－(a＋a2)x＋a3＝0的两根为x1＝a，x2＝a2，
由a2－a＝a(a－1)可知，
①当a<0或a>1时，a2>a.∴原不等式的解为x>a2或x<a.
②当0<a<1时，a2<a，∴原不等式的解为x>a或x<a2.
③当a＝0时，原不等式为x2>0，∴x≠0.
④当a＝1时，原不等式为(x－1)2>0，∴x≠1.
综上可知：
当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}；
当0<a<1时，原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}；
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0}；
当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1}．
4．某小商品在2018年的价格为8元/件，年销量是a件．现经销商计划在2019年将该商品的价格下调至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格是4元/件．经测算，该商品价格下调后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k.该商品的成本价为3元/件．
(1)写出该商品价格下调后，经销商的年收益y与实际价格x的关系式；
(2)设k＝2a，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2019年的收益比2018年至少增长20%?
解：(1)由题意知，该商品价格下调后为x元/件，则年销量增加到件，故经销商的年收益y＝(x－3)，5.5≤x≤7.5.
(2)当k＝2a时，依题意有(x－3)≥(8－3)a×(1＋20%)，化简得≥0，解得x≥6或4＜x≤5.
又5.5≤x≤7.5，故6≤x≤7.5，即当实际价格最低定为6元/件时，仍然可以保证经销商2019年的收益比2018年至少增长20%.

5．某热带风暴中心B位于海港城市A东偏南30°的方向，与A市相距400 km.该热带风暴中心B以40 km/h的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350 km.问：从此时起，经多少时间后A市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？
解：如图，以A市为原点，正东方向为x轴建立直角坐标系．

∵AB＝400，∠BAx＝30°，∴台风中心B的坐标为(200，－200)，x h后台风中心B到达点P(200，40x－200)处．
由已知，A市受台风影响时，有|AP|≤350，
即(200)2＋(40x－200)2≤3502，
整理得16x2－160x＋375≤0，解这个不等式得，3.75≤x≤6.25，
A市受台风影响的时间为6.25－3.75＝2.5.
故在3.75 h后，A市会受到台风的影响，时间长达2.5 h.

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