2019_2020学年新教材高中数学第六章平面向量初步6.2.1向量基本定理课后篇巩固提升新人教B版必修第二册.docx

6.2.1　向量基本定理
课后篇巩固提升
夯实基础
1.四边形OABC中,CB=12OA,若OA=a,OC=b,则AB=(　　)
A.a-12b B.12a-b
C.b+12a D.b-12a
答案D
解析由CB=OB-OC=12OA,可得OB=OC+12OA=b+12a,
所以AB=OB-OA=b+12a-a=b-12a,
故选D.
2.设e1,e2是两个不共线的向量,则向量a=2e1-e2,与向量b=e1+λe2(λ∈R)共线,当且仅当λ的值为(　　)
A.0 B.-1
C.-2 D.-12
答案D
解析因为向量a与b共线,所以b=ma,且向量a=2e1-e2,与向量b=e1+λe2,
即2e1-e2=m(e1+λe2),解得λ=-12,故选D.
3.设D为△ABC所在平面内一点,AD=-13AB+43AC,若BC=λDC(λ∈R),则λ=(　　)
A.-3 B.3 C.-2 D.2
答案A
解析若BC=λDC(λ∈R),∴AC-AB=λAC-λAD,化为AD=1λAB+λ-1λAC,
与AD=-13AB+43AC比较,可得:1λ=-13,λ-1λ=43,解得λ=-3.
则λ=-3.故选A.
4.对于向量a,b有下列表示:
①a=2e,b=-2e;
②a=e1-e2,b=-2e1+2e2;
③a=4e1-25e2,b=e1-110e2;
④a=e1+e2,b=2e1-2e2.
其中,向量a,b一定共线的有(　　)
A.仅①②③ B.仅②③④
C.仅①③④ D.①②③④
答案A
解析对于①,a=-b;对于②,a=-12b;对于③,a=4b;对于④,若a=λb(λ≠0),则e1+e2=λ(2e1-2e2),即(1-2λ)e1+(1+2λ)e2=0,所以1-2λ=1+2λ=0,矛盾,故④中a与b不共线.
5.已知向量AB=a+3b,BC=5a+3b,CD=-3a+3b,则(　　)
A.A,B,C三点共线 B.A,B,D三点共线
C.A,C,D三点共线 D.B,C,D三点共线
答案B
解析∵BC+CD=2a+6b=2(a+3b)=2AB,
即BD=2AB.
∴A、B、D三点共线.
故选B.
6.如图,在△ABC中,设AB=a,AC=b,AP的中点为Q,BQ的中点为R,CR的中点为P.若AP=ma+nb,则m+n=(　　)

A.12 B.23 C.67 D.1
答案C
解析由题意可得AP=2QP,QB=2QR,
∵AB=a=AQ+QB=12AP+2QR,①
AC=AP+PC=AP+RP=AP+QP-QR=AP+12AP-QR=32AP-QR=b,②
由①②解方程求得AP=27a+47b.
再由AP=ma+nb可得m=27,n=47,m+n=67.
7.如图,在△ABC中,AD=13DC,P是线段BD上一点,若AP=mAB+16AC,则实数m的值为　　　　　. 

答案13
解析设BP=λBD,AD=13DC⇒AD=14AC,
AP=AB+BP=AB+λBD=AB+λ(BA+AD)=(1-λ)AB+14λAC,
已知AP=mAB+16AC,
所以有1-λ=m,14λ=16⇒λ=23,m=13.
8.

如图,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,AE=23AD,AB=a,AC=b.
(1)用a,b分别表示向量AE,BF;
(2)求证:B,E,F三点共线.
解(1)∵AD=12(AB+AC)=12(a+b),
∴AE=23AD=13(a+b),
∵AF=12AC=12b,
∴BF=AF-AB=-a+12b.
(2)证明:由(1)知BF=-a+12b,
BE=-23a+13b=23-a+12b,
∴BE=23BF.
∴BE与BF共线.
又BE,BF有公共点B,所以B,E,F三点共线.
9.

已知△OAB中,点D在线段OB上,且OD=2DB,延长BA到C,使BA=AC.设OA=a,OB=b.
(1)用a,b表示向量OC,DC;
(2)若向量OC与OA+kDC共线,求k的值.
解(1)∵A为BC的中点,∴OA=12(OB+OC),
可得OC=2OA-OB=2a-b,
而DC=OC-OD=OC-23OB=2a-53b.
(2)由(1)得OA+kDC=(2k+1)a-53kb,
∵OC与OA+kDC共线,设OC=λ(OA+kDC),
即2a-b=λ(2k+1)a+-53λkb,
根据平面向量基本定理,得2=λ(2k+1),-1=-53λk,
解之得,k=34.
能力提升
1.已知a,b为非零不共线向量,向量8a-kb与-ka+b共线,则k=(　　)
A.22
B.-22
C.±22
D.8
答案C
解析∵向量8a-kb与-ka+b共线,
∴存在实数λ,使得8a-kb=λ(-ka+b),即8a-kb=-kλa+λb.
又∵a,b为非零不共线向量,
∴8=-kλ,-k=λ,解得:k=±22,
故选C.
2.已知正六边形ABCDEF中,G是AF的中点,则CG=(　　)
A.58CE+34DA
B.23CE+56DA
C.34CE+58DA
D.56CE+23DA
答案C
解析作出图形如下图所示,设直线AD,CF相交于点O,则点O为这两条线段的中点,

由图形可知,CB=OA=OF+FA=-AB-AF,
所以,CG=CB+BA+AG=-AB-AF-AB+12AF=-2AB-12AF,①
DA=2CB=-2AB-2AF,②
CE=CD+DE=AF-AB,③
联立②③,得DA=-2AB-2AF,CE=-AB+AF,
解得AB=-12CE-14DA,AF=12CE-14DA,代入①,
得CG=-2AB-12AF=-2-12CE-14DA-1212CE-14DA=34CE+58DA,
故选C.
3.我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了,勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的,被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现,是中国古代数学的图腾,还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图,大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的,若AB=a,AD=b,E为BF的中点,则AE=(　　)

A.45a+25b
B.25a+45b
C.43a+23b
D.23a+43b
答案A
解析设BE=m,则AE=BF=2BE=2m,在Rt△ABE中,可得AB=5m.
过点E作EH⊥AB于点H,则EH=2m25m=255m,EH∥AD,
AH=(2m)2-255m2=455m.
所以AH=45AB,HE=25AD.
所以AE=AH+HE=45AB+25AD=45a+25b.故选A.

4.如图,在△ABC中,D为BC的中点,G为AD的中点,过点G任作一直线MN分别交AB,AC于M,N两点.若AM=xAB,AN=yAC,试问:1x+1y是否为定值?

解设AB=a,AC=b,
则AM=xa,AN=yb,
AG=12AD=14(AB+AC)=14(a+b).
所以MG=AG-AM=14(a+b)-xa=14-xa+14b,MN=AN-AM=yb-xa=-xa+yb.
因为MG与MN共线,且a,b不共线,所以有14-xy=14(-x),
即14x+14y=xy,得1x+1y=4,所以1x+1y为定值.

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