1、习题课（四） 平面向量初步一、选择题1设点D为ABC中BC边上的中点，O为AD边上靠近点A的三等分点，则()A BC D解析：选D依题意，得().故选D.2在梯形ABCD中，ABCD，AB2CD，M，N分别为CD，BC的中点若，则等于()A. B.C. D.解析：选D因为()22，所以，所以，所以.3已知非零向量，不共线，且2xy，若 (R)，则x，y满足的关系是()Axy20 B2xy10Cx2y20D2xy20解析：选A由，得()，即(1).又2xy，消去得xy2.4已知|1，|， 点C在线段AB上，AOC30.设mn (m，nR)，则等于()A. B3C. D.解析：选B如图，由已知|1
2、，|，可得AB2，A60，因为点C在线段AB上，AOC30，所以OCAB，过点C作CDOA，垂足为点D，则OD，CD，所以，即，所以3.5在菱形ABCD中，DAB60，|2，则|()A. B2C.D2解析：选B如图，设菱形对角线交点为O，DAB60，ABD为等边三角形又AB2，OB1.在RtAOB中，|，|2|2.6已知ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P，满足，则点P与ABC的关系为()AP在ABC内部BP在ABC外部CP在AB边所在直线上DP是AC边的一个三等分点解析：选D，即20，即2，故，P是AC边的一个三等分点二、填空题7若|2|，且，则_.解析：当点C在线段的延长线上时，如图则
3、2，则2.当点C在线段上时，如图则2，即2.综上，2.答案：28设e1，e2是平面内的一组基底，且ae12e2，be1e2，则e1e2_a_b.解析：由解得故e1e2ab.答案：9.如图所示，在ABC中，D为BC边上的一点，且BD2DC，若mn (m，nR)，则mn_.解析：3，33()33，则m，n，mn2.答案：2三、解答题10.如图所示，已知正方形ABCD的边长等于1，a，b，c，试作出下列向量，并分别求出其长度：(1)abc；(2)abc.解：(1)由已知得abc，所以延长AC到E，使|，则abc，且|2.所以|abc|2.(2)作，连接CF，则，而ab，所以abc，且|2，所以|ab
4、c|2.11如图，已知平行四边形ABCD的边BC，CD的中点分别是K，L，且e1， e2，试用e1，e2表示，.解：设x，y，则x，y.由，得(2)，得x2xe12e2，即x(e12e2)e1e2，所以e1e2.同理可得ye1e2，即e1e2.12已知三点A(a,0)，B(0，b)，C(2,2)，其中a0，b0.(1)若O是坐标原点，且四边形OACB是平行四边形，试求a，b的值；(2)若A，B，C三点共线，试求ab的最小值解：(1)因为四边形OACB是平行四边形，所以，即(a,0)(2,2b)，解得故a2，b2.(2)因为(a，b)，(2,2b)，由A，B，C三点共线，得，所以a(2b)2b0，即2(ab)ab，因为a0，b0，所以2(ab)ab2，即(ab)28(ab)0，解得ab8或ab0.因为a0，b0，所以ab8，即ab的最小值是8.当且仅当ab4时，“”成立- 5 -
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