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课时素养评价 四十二
三角函数的概念(一)
(20分钟·40分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.若角α的终边经过点(1,-),则sin α= ( )
A.- B.- C. D.
【解析】选B.角α的终边经过点(1,-),则sin α==-.
2.若角α的终边过点(2sin 30°,-2cos 30°),则sin α的值等于 ( )
A. B.- C.- D.-
【解析】选C.因为角α的终边过点(2sin 30°,-2cos 30°),所以角α终边上一点的坐标为(1,-),故sin α==-.
【加练·固】
已知角α的终边上一点的坐标为,则角α的最小正值为( )
A. B. C. D.
【解析】选D.因为sin=,cos=-.
所以角α的终边在第四象限,且tan α==-,
所以角α的最小正值为2π-=.
3.(多选题)若角α的终边过点P(-3,-2),则 ( )
A.sin αtan α<0 B.cos αtan α<0
C.sin αcos α>0 D.sin αcos α<0
【解析】选A、B、C.因为角α的终边过点(-3,-2),
r=|OP|==,
所以sin α===-<0,
cos α===-<0,
tan α===>0,
sin α·tan α<0,cos α·tan α<0,sin α·cos α>0.
4.已知α是第二象限角,P(x,)为其终边上一点,且cos α=x,则x的值为
( )
A. B.± C.- D.-
【解析】选D.因为cos α===x,
所以x=0或2(x2+5)=16,所以x=0或x2=3,
因为α是第二象限角,所以x<0,所以x=-.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于x轴对称,若sin α=,则sin β=________.
【解析】设角α的终边与单位圆相交于点P(x,y),则角β的终边与单位圆相交于点Q(x,-y),由题意知sin α=y=,
所以sin β=-y=-.
答案:-
6.已知角α的终边过点P(5,a),且tan α=-,则sin α=______,cos α=________.
【解析】因为tan α==-,所以a=-12.
所以r==13,
所以sin α=-,cos α=.
答案:-
三、解答题
7.(16分)已知θ终边上一点P(x,3)(x≠0),且cos θ=x,求sin θ,tan θ.
【解析】由题意知r=|OP|=,
由三角函数定义得cos θ==.
又因为cos θ=x,所以=x.
因为x≠0,所以x=±1.当x=1时,P(1,3),
此时sin θ==,tan θ==3.
当x=-1时,P(-1,3),
此时sin θ==,tan θ==-3.
(15分钟·30分)
1.(4分)若角α的终边上有一点P(0,3),则下列式子无意义的是 ( )
A.tan α B.sin α
C.cos α D.都有意义
【解析】选A.由三角函数的定义sin α=,cos α=,tan α=,可知tan α无意义.
2.(4分)已知角α的终边上一点P与点A(-3,2)关于y轴对称,角β的终边上一点Q与点A关于原点对称,那么sin α+sin β的值等于
( )
A. B.- C.0 D.
【解析】选C.与点 A(-3,2)关于y轴对称的点P的坐标为(3,2),所以sin α==,
Q与点A(-3,2)关于原点对称,
其坐标为 (3,-2),
所以sin β=-=-,所以sin α+sin β=0.
3.(4分)若点P(3,y)是角α终边上的一点,且满足y<0,cos α=,则tan α=________.
【解析】因为cos α==,
所以=5.所以y2=16,
因为y<0,所以y=-4,所以tan α=-.
答案:-
4.(4分)若角α的终边与直线y=3x重合且sin α<0,又P(m,n)是α终边上一点,且|OP|=,则m-n=________.
【解析】因为y=3x且sin α<0,
所以点P(m,n)位于y=3x在第三象限的图象上,且m<0,n<0,n=3m.
所以|OP|==|m|=-m=,
所以m=-1,n=-3,所以m-n=2.
答案:2
5.(14分)已知点M是圆x2+y2=1上的点,以射线OM为终边的角α的正弦值为-,求cos α和tan α的值.
【解析】设点M的坐标为(x1,y1).
由题意,可知sin α=-,即y1=-.
因为点M在圆x2+y2=1上,所以+=1,
即+=1,解得x1=或-.
所以cos α=或cos α=-,
所以tan α=-1或tan α=1.
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