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课时素养评价 五十七
函数y=Asin(ωx+φ)(一)
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.将函数y=sin 2x的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数是 ( )
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.非奇非偶函数
【解析】选A.y=sin 2xy=sin=sin(2x-π)=
-sin(π-2x)=-sin 2x.由于-sin(-2x)=sin 2x,所以是奇函数.
【加练·固】
已知函数f(x)=sin(x∈R,ω>0)的最小正周期为π,为了得到函数g(x)=cos ωx的图象,只需将y=f(x)的图象上所有的点 ( )
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
【解析】选A.由T=π=,得ω=2,
g(x)=cos 2x=sin,
f(x)=sin的图象向左平移个单位,得到y=sin=
sin=g(x)的图象.
2.把函数y=cos 2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图象是( )
【解析】选A.变换后的三角函数为y=cos(x+1),结合四个选项可得A选项正确.
3.把函数y=sin x的图象上所有点向左平移个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到的图象所对应的函数是 ( )
A.y=sin B.y=sin
C.y=sin D.y=sin
【解析】选C.把函数y=sin x的图象上所有点向左平行移动个单位长度后得到函数y=sin的图象,再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的,得到函数y=sin的图象.
4.(多选题)为得到函数y=cos x的图象,可以把y=sin x的图象向右平移φ个单位长度得到,那么φ的值可以是 ( )
A. B. C. D.
【解析】选B、D.y=sin x=cos
=cos向右平移φ个单位后得到y
=cos,所以φ+=2kπ,k∈Z,所以φ=2kπ-,k∈Z.所以φ的值可以是,.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.将函数f(x)=Asin(ωx+φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移个单位长度得到y=Asin x的图象,则ω=________,φ=______.
【解析】y=Asin x的图象向左平移个单位长度,得到y=Asin的图象,再将每一点的横坐标伸长为原来的2倍,得到y=Asin的图象即为f(x)=Asin(ωx+φ)的图象,所以f(x)=Asin,所以ω=,φ=.
答案:
6.已知方程2sin+2a-1=0在[0,π]上有两个不相等的实根,则实数a的取值范围是________.
【解析】由2sin+2a-1=0,
得2sin=1-2a,所以原题等价于函数y=2sin的图象与函数y=1-2a的图象在[0,π]上有两个交点,如图,所以≤1-2a<2,解得a∈.
答案:
三、解答题(共26分)
7.(12分)已知函数f(x)=3sin+3(x∈R),用“五点法”画出它在一个周期内的闭区间上的简图.
【解析】(1)列表:
+
0
π
2π
x
-
f(x)
3
6
3
0
3
(2)描点画图:
8.(14分)已知f(x)=2sin.
(1)在给定的坐标系内,用“五点法”作出函数f(x)在一个周期内的图象.
(2)写出f(x)的单调递增区间.
(3)求f(x)的最大值和此时相应的x的值.
【解析】(1)列表:
+
0
π
2π
x
-
f(x)
0
2
0
-2
0
作图:
(2)由2kπ-≤+≤2kπ+,得4kπ-≤x≤4kπ+,k∈Z.所以函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(3)当+=+2kπ,即x=+4kπ(k∈Z)时,f(x)max=2.
(15分钟·30分)
1.(4分)要得到函数y=3sin的图象,只需将函数y=3sin 2x的图象
( )
A.向左平移个单位
B.向右平移个单位
C.向左平移个单位
D.向右平移个单位
【解析】选C.由y=3sin 2(x+φ)=3sin,得2φ=,φ=.故向左平移个单位.
2.(4分)函数f(x)=sin的图象的一条对称轴是 ( )
A.x=- B.x=
C.x=- D.x=
【解析】选C.令x-=+kπ,k∈Z,x=+kπ,k∈Z,
当k=-1时,x=-.
所以直线x=-是函数f(x)的图象的一条对称轴.
3.(4分)设ω>0,函数y=sin+2的图象向右平移个单位长度后与原图象重合,则ω的最小值是 ( )
A. B. C. D.3
【解析】选C.y=sin+2y1=sin+2= sin+2.
因为y与y1的图象重合,所以-ω=2kπ(k∈Z).
所以ω=-k.又因为ω>0,k∈Z,所以k=-1时,ω取最小值为.
4.(4分)函数y=sin 2x的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度,得到的图象关于直线x=对称,则φ的最小值为________.
【解析】平移后解析式为y=sin(2x-2φ),图象关于x=对称,所以2×-2φ=kπ+(k∈Z),
所以φ=-π-(k∈Z),又因为φ>0,
所以当k=-1时,φ的最小值为.
答案:
5.(14分)将函数f(x)=sin 2x的图象向右平移φ个单位长度后得到函数g(x)的图象,若对满足|f(x1)-g(x2)|=2的x1,x2,有|x1-x2|min=,求φ.
【解析】向右平移φ个单位后,得到g(x)=sin(2x-2φ),
又|f(x1)-g(x2)|=2,所以不妨令2x1=+2kπ,k∈Z,2x2-2φ=-+2mπ,m∈Z,所以x1-x2=-φ+(k-m)π,k,m∈Z,又|x1-x2|min=,所以-φ=,所以φ=.
1.将函数f(x)=sin的图象分别向左、向右平移φ1,φ2个单位后,所得的图象都关于y轴对称,则φ1,φ2的最小正值分别为 ( )
A., B.,
C., D.,
【解析】选A.函数f(x)的图象向左平移φ1个单位得到函数g(x) =sin的图象,向右平移φ2个单位得到函数h(x)=
sin的图象,于是2φ1+=+kπ,k∈Z,-2φ2+=+kπ,k∈Z,于是φ1,φ2的最小正值分别为,.
2.已知函数f(x)=2sin ωx,其中常数ω>0.
(1)若y=f(x)在上单调递增,求ω的取值范围.
(2)令ω=2,将函数y=f(x)的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数y=g(x)的图象,区间[a,b](a,b∈R且a<b)满足:y=g(x)在[a,b]上至少含有30个零点,在所有满足上述条件的[a,b]中,求b-a的最小值.
【解析】(1)因为ω>0,根据题意有⇒0<ω≤,所以ω的取值范围为.
(2)f(x)=2sin 2x,g(x)=2sin2+1=2sin+1,g(x)=0⇒sin=-⇒x=kπ-或x=kπ-π,k∈Z,即g(x)的零点相离间隔依次为和,
故若y=g(x)在[a,b]上至少含有30个零点,则b-a的最小值为14×+15×=.
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