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课时素养评价 五十
正切函数的性质与图象
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.函数y=的单调增区间为 ( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
【解析】选D.令t=x+,则y=|tan t|的单调增区间为(k∈Z).
由kπ≤x+<kπ+,得kπ-≤x<kπ+(k∈Z).
2.函数y=的奇偶性是 ( )
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数,又是偶函数
D.既不是奇函数,也不是偶函数
【解析】选A.由1+cos x≠0,即cos x≠-1,得x≠2kπ+π,k∈Z.又tan x中x≠kπ+,k∈Z,
所以函数y=的定义域关于(0,0)对称.
又f(-x)==-f(x),
所以f(x)为奇函数.
3.下列函数中,同时满足:①在上是增函数,②为奇函数,③以π为最小正周期的函数是 ( )
A.y=tan x B.y=cos x
C.y=tan D.y=|sin x|
【解析】选A.经验证,选项B,D中所给函数都是偶函数,不符合;选项C中所给的函数的周期为2π.
4.满足tan A>-1的三角形的内角A的取值范围是 ( )
A.
B.∪
C.
D.∪
【解析】选D.因为A为三角形的内角,所以0<A<π.
又tan A>-1,结合正切曲线得A∈∪.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.函数y=tan的最小正周期是____,单调递减区间是________.
【解析】因为y=tan,
所以T==2π,
y=tan=-tan,
由kπ-<x-<kπ+(k∈Z),
得2kπ-<x<2kπ+π,k∈Z,
所以函数y=tan的单调递减区间是
,k∈Z.
答案:2π ,k∈Z
6.函数y=3tan的最小正周期是,则ω=________.
【解析】T==,所以ω=±2.
答案:±2
三、解答题(共26分)
7.(12分)已知f(x)=tan2x-2tan x,求f(x)的值域.
【解析】令u=tan x,因为|x|≤,
所以u∈[-, ],
所以函数化为y=u2-2u.
对称轴为u=1∈[-, ].
所以当u=1时,ymin=12-2×1=-1.
当u=-时,ymax=3+2.
所以f(x)的值域为[-1,3+2].
8.(14分)已知函数f(x)=3tan.
(1)求f(x)的定义域、值域.
(2)讨论f(x)的周期性,奇偶性和单调性.
【解析】(1)由x-≠+kπ,k∈Z,
解得x≠+2kπ,k∈Z.
所以定义域为,值域为R.
(2)f(x)为周期函数,周期T==2π.f(x)为非奇非偶函数.由-+kπ<x-<+
kπ,k∈Z,
解得-+2kπ<x<+2kπ,k∈Z.
所以函数的单调递增区间为(k∈Z).
(15分钟·30分)
1.(4分)在区间内,函数y=tan x与函数y=sin x的图象交点的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选C.在同一坐标系中画出正弦函数与正切函数的图象(如图所示),可以看到在区间内二者有三个交点.
2.(4分)(多选题)下列各式中正确的是 ( )
A.tan 735°<tan 800° B.tan 1>tan 2
C.tan<tan D.tan<tan
【解析】选A、B、D.tan 735°=tan(735°-720°)=tan 15°,
tan 800°=tan(800°-720°)=tan 80°且0°<15°<80°<90°,正切函数在上是单调递增,
所以tan 735°<tan 800°;tan 1>0,tan 2<0,
所以tan 1>tan 2;tan<0,tan<0;
<π<<π,
正切函数在上是单调递增,
所以tan>tan,
tan=tan,且0<<<,正切函数在上是单调递增,所以tan<tan,故选项A、B、D正确.
3.(4分)下列各点中,不是函数y=tan的图象的对称中心的是 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选C.令-2x=,k∈Z,得x=-.
令k=0,得x=;令k=1,得x=-;令k=2,得x=-.
4.(4分)已知函数y=tan ωx在内是单调减函数,则ω的取值范围是________.
【解析】函数y=tan ωx在内是单调减函数,则有ω<0,且周期T≥-=π,即≥π,
故|ω|≤1,所以-1≤ω<0.
答案:[-1,0)
【加练·固】
函数f(x)=tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y=所得的线段长为,则
f的值是 ( )
A.0 B.1 C.-1 D.
【解析】选A.由题意,得T==,
所以ω=4.
所以f(x)=tan 4x,f=tan π=0.
5.(14分)已知函数f(x)=x2+2xtan θ-1,x∈[-1,],其中θ∈.
(1)当θ=-时,求函数f(x)的最大值与最小值.
(2)求使y=f(x)在区间[-1,]上是单调函数的θ的取值范围.
【解析】(1)当θ=-时,
f(x)=x2-x-1=-,x∈[-1, ].
所以当x=时,f(x)取得最小值,为-;
当x=-1时,f(x)取得最大值,为.
(2)函数f(x)=(x+tan θ)2-1-tan2θ的图象的对称轴为x=-tan θ.因为y=f(x)在区间[-1,]上单调,
所以-tan θ≤-1或-tan θ≥,即tan θ≥1或tan θ≤-.
又θ∈,
所以θ的取值范围是∪.
1.函数y=tan x+sin x-|tan x-sin x|在区间内的图象是 ( )
【解析】选D.当<x<π时,tan x<sin x,y=2tan x;当x=π时y=0;当π<x<时tan x>sin x,y=2sin x.根据正弦函数和正切函数图象知D正确.
2.若函数f(x)=tan2x-atan x的最小值为-6.求实数a的值.
【解析】设t=tan x,因为|x|≤,所以t∈[-1,1].
则原函数化为:y=t2-at=-,
对称轴t=.
(1)若-1≤≤1,则当t=时,ymin=-=-6,
所以a2=24(舍去);
(2)若<-1,即a<-2时二次函数在[-1,1]上单调递增,
ymin=-=1+a=-6,所以a=-7;
(3)若>1,即a>2时,二次函数在[-1,1]上单调递减.
ymin=1-a=-6,所以a=7.
综上所述,a=-7或a=7.
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