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课时素养评价 二十九
指数函数的图象和性质
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.(多选题)在同一坐标系中,关于函数y=3x与y=的图象的说法正确的是
( )
A.关于y轴对称 B.关于x轴对称
C.都在x轴的上方 D.都过点(0,1)
【解析】选A、C、D.作出两函数图象可知,两函数图象关于y轴对称,都在x轴的上方,都过点(0,1).
2.若f(x)=(2a-1)x是增函数,那么a的取值范围为 ( )
A.a< B.<a<1
C.a>1 D.a≥1
【解析】选C.因为f(x)=(2a-1)x是增函数,
所以2a-1>1,解得a>1.
3.函数f(x)=2ax+1-1(a>0,且a≠1)恒过定点 ( )
A.(-1,-1) B.(-1,1)
C.(0,2a-1) D.(0,1)
【解析】选B.函数f(x)=2ax+1-1(a>0,且a≠1),
令x+1=0,解得x=-1,
所以f(-1)=2-1=1,
所以f(x)恒过定点(-1,1).
4.已知函数f(x)=+2,则f(1)与f(-1)的大小关系是 ( )
A.f(1)>f(-1) B.f(1)<f(-1)
C.f(1)=f(-1) D.不确定
【解析】选B.因为f(x)=+2是减函数,
所以f(1)<f(-1).
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.已知函数f(x)=a-x(a>0且a≠1),且f(-2)>f(-3),则a的取值范围是________.
【解析】由题意可得,函数f(x)=a-x=()x(a>0且a≠1)在R上是增函数,
故>1,解得0<a<1,
答案:(0,1)
6.函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则a的取值范围是________,b的取值范围是________.
【解析】从曲线的变化趋势,可以得到函数f(x)为减函数,从而有0<a<1;从曲线位置看,是由函数y=ax(0<a<1)的图象向左平移|-b|个单位长度得到,所以-b>0,即b<0.
答案:(0,1) (-∞,0)
三、解答题(共26分)
7.(12分)求不等式a4x+5>a2x-1(a>0,且a≠1)中x的取值范围.
【解析】对于a4x+5>a2x-1(a>0,且a≠1),
当a>1时,有4x+5>2x-1,解得x>-3;
当0<a<1时,有4x+5<2x-1,解得x<-3.
故当a>1时,x的取值范围为{x|x>-3};
当0<a<1时,x的取值范围为{x|x<-3}.
8.(14分)已知指数函数f(x)的图象经过点P(3,8),且函数g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称.
(1)求函数g(x)的解析式.
(2)若g(x2-3x+1)>g(x2+2x-5),求x的取值范围.
【解析】(1)设指数函数为f(x)=ax.
因为指数函数f(x)的图象过点(3,8),
所以8=a3,所以a=2,
所求指数函数为f(x)=2x.
因为函数g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称,
所以g(x)=2-x.
(2)由(1)得g(x)为减函数,
因为g(x2-3x+1)>g(x2+2x-5),
所以x2-3x+1<x2+2x-5,解得x>,
所以x的取值范围为.
(15分钟·30分)
1.(4分)函数y=ax,y=x+a在同一坐标系中的图象可能是
( )
【解析】选D.函数y=x+a是增函数.
由题意知a>0且a≠1.
当0<a<1时,y=ax是减函数,直线y=x+a
在y轴上的截距大于0且小于1;
当a>1时,y=ax是增函数,直线y=x+a在y轴上的截距大于1.
【加练·固】
若a>1,则函数y=ax与y=(1-a)x2的图象可能是下列四个选项中的 ( )
【解析】选C.因为a>1,所以函数y=ax为增函数,可排除选项B与D.
y=(1-a)x2是开口向下的二次函数,可排除选项A.
2.(4分)定义一种运算:g☉h=已知函数f(x)=2x☉1,那么函数y=f(x-1)的大致图象是 ( )
【解析】选B.f(x)=
所以f(x-1)=
所以其图象为B.
3.(4分)设函数f(x)=则f(-4)=______,若f(x0)>1,则x0的取值范围是______.
【解析】f(-4)=24-1=15;由题意得或由得x0<-1,由得x0>1,
综上所述,x0的取值范围是(-∞,-1)∪(1,+∞).
答案:15 (-∞,-1)∪(1,+∞)
4.(4分)若函数y=0.5|1-x|+m的图象与x轴有公共点,则m的取值范围是________.
【解析】因为函数y=0.5|1-x|+m的图象与x轴有公共点,
所以就是求函数m=-0.5|1-x|的值域问题.
因为m=-0.5|1-x|的值域为[-1,0).
故实数m的取值范围是[-1,0).
答案:[-1,0)
5.(14分)已知函数f(x)=+a的图象经过第二、三、四象限.
(1)求实数a的取值范围.
(2)设g(a)=f(a)-f(a+1),求g(a)的取值范围.
【解析】(1)如图,
因为函数f(x)=+a的图象经过第二、三、四象限,
所以a<-1.
(2)g(a)=f(a)-f(a+1)=+a--a==·.
因为a<-1,所以>3,则·>2.
故g(a)的取值范围是(2,+∞).
1.若f(x)的图象向左平移一个单位后与y=5x的图象关于y轴对称,则f(x)的解析式是 ( )
A.f(x)=5x+1 B.f(x)=5x-1
C.f(x)=5-x+1 D.f(x)=5-x-1
【解析】选C.因为f(x)的图象向左平移一个单位后与y=5x的图象关于y轴对称,
所以与y=5x的图象关于y轴对称的函数为y=5-x,
然后将y=5-x向右平移一个单位得到y=5-(x-1)
=5-x+1,即f(x)=5-x+1.
2.已知函数f(x)=且f(-2)=3,f(-1)=f(1).
(1)求f(x)的解析式,并求f(f(-2))的值.
(2)请在给定的直角坐标系内,利用“描点法”画出y=f(x)的大致图象.
【解析】(1)由f(-2)=3,f(-1)=f(1),得解得
所以f(x)=
从而f(f(-2))=f(3)=23=8.
(2)“描点法”作图,①列表:
x
-2
-1
0
1
2
f(x)
3
2
1
2
4
②描点;③连线,f(x)的图象如图所示.
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