1、章末综合检测（八）（时间：120分钟，满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.空间中有三条线段AB，BC，CD，且ABCBCD，那么直线AB与CD的位置关系是（）A.平行B.异面C.相交或平行D.平行或异面或相交均有可能解析：选D.如图可知AB，CD有相交，平行，异面三种情况，故选D.2.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图所示），ABC45，ABAD1，DCBC，则这个平面图形的面积为（）A.B.2C. D.解析：选 B.将直观图 ABCD 还原后为直角梯形 ABCD，其中 AB2AB2，BC1，ADAD
2、1.所以平面图形的面积 S（11）22.3.对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面，使得（）A.a，b B.a，bC.a，b D.a，b解析：选B.因为已知两条不相交的空间直线a和b，所以可以在直线a上任取一点A，则Ab，过A作直线cb，则过直线a，c必存在平面且使得a，b.4.正方体的表面积与其外接球的表面积的比为（）A.3 B.2C.12 D.13解析：选B.设正方体的棱长为a，则球的直径为2Ra，所以Ra.正方体的表面积为6a2.球的表面积为4R243a2，所以它们的表面积之比为6a23a22.5.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，棱锥A1ABCD的体积与长方体的体积的比值为（
3、）A. B.C. D.解析：选C.设长方体过同一顶点的棱长分别为a，b，c，则长方体的体积为V1abc，四棱锥A1ABCD的体积为V2abc，所以棱锥A1ABCD的体积与长方体的体积的比值为.6.在正方体ABCDA1B1C1D1中，点Q是棱DD1上的动点，则过A，Q，B1三点的截面图形是（）A.等边三角形 B.矩形C.等腰梯形 D.以上都有可能解析：选D.当点Q与点D1重合时，截面图形为等边三角形AB1D1，如图（1）；当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D，如图（2）；当点Q不与点D，D1重合时，令Q，R分别为DD1，C1D1的中点，则截面图形为等腰梯形AQRB1，如图（3）.故选D
4、.7.给出下列命题：过平面外一直线有且仅有一个平面和这个平面平行；如果一个平面经过另一个平面的斜线，那么这两个平面不可能垂直；若直角三角形ABC在平面内的射影仍是直角三角形，则平面ABC平面.其中正确命题的个数为（）A.0B.1C.2 D.3解析：选A.对于，平面外的直线有两类，其一是与平面相交的直线，其二是与平面平行的直线，显然不正确；对于，容易判断是错误的；对于，平面ABC与平面也有可能相交，因此不正确.故选A.8.如图，在三棱锥DABC中，若ABCB，ADCD，E是AC的中点，则下列结论中正确的是（）A.平面ABC平面ABDB.平面ABD平面BDCC.平面ABC平面BDE，且平面ADC平
5、面BDED.平面ABC平面ADC，且平面ADC平面BDE解析：选C.因为ABCB，且E是AC的中点，所以BEAC.同理，DEAC，又DEBEE，于是AC平面BDE.又AC平面ABC，AC平面ADC，所以平面ABC平面BDE，平面ADC平面BDE.故选C.9.若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1l2，l2l3，l3l4，则下列结论一定正确的是（）A.l1l4B.l1l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定解析：选D.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，记l1DD1，l2DC，l3DA，若l4AA1，满足l1l2，l2l3，l3l4，此时l1l4
6、，可以排除选项A和C.若l4DC1，也满足条件，可以排除选项B.故选D.10.在等腰RtABC中，ABBC1，M为AC的中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角CBMA的大小为（）A.30 B.60C.90 D.120解析：选C.如图所示，由ABBC1，ABC90，得AC.因为M为AC的中点，所以MCAM.且CMBM，AMBM，所以CMA为二面角CBMA的平面角.因为AC1，MCAM，所以CMA90.11.如图，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC，PA2AB，则下列结论正确的是（）A.PBADB.平面PAB平面PBCC.直线BC平面PAED.直线PD与平
7、面ABC所成的角为45解析：选D.选项A，B，C显然错误.因为PA平面ABC，所以PDA是直线PD与平面ABC所成的角.因为ABCDEF是正六边形，所以AD2AB.因为tanPDA1，所以直线PD与平面ABC所成的角为45.故选D.12.已知四棱锥SABCD的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于44，则球O的体积等于（）A. B.C. D.解析：选B.由题意可知四棱锥SABCD的所有顶点都在同一个球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内，当体积最大时，可以判定该棱锥为正四棱锥，底面在球大圆上，可知底面正方形的对角
8、线长度的一半为球的半径r，且四棱锥的高hr，进而可知此四棱锥的四个侧面均是边长为r的正三角形，底面为边长为r的正方形，所以该四棱锥的表面积为S4（r）2（r）22r22r2（22）r244，因此r22，r，所以球O的体积Vr32，故选B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.如果用半径R2的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是.解析：设圆锥筒的底面半径为r，则2rR2，则r，所以圆锥筒的高h3.答案：314.已知a，b表示不同的直线，表示不重合的平面.若a，b，ab，则；若a，a垂直于内任意一条直线，则；若，a，b，则ab；若a，b，ab，则.上述命题中，正确命题的序号是.解析
9、：对可举反例，如图，需b才能推出；对可举反例说明，当不与，的交线垂直时，即可知a，b不垂直；根据面面、线面垂直的定义与判定知正确.答案：15.已知直二面角l，A，ACl，C为垂足，B，BDl，D为垂足.若AB2，ACBD1，则D到平面ABC的距离为.解析：如图，作DEBC于点E，由l为直二面角，ACl，得AC，进而ACDE，又BCDE，BCACC，于是DE平面ABC，故DE为D到平面ABC的距离.在RtBCD 中，利用等面积法得DE.答案：16.如图，在棱长均相等的正四棱锥PABCD中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，有下列结论：PC平面OMN；平面PCD平面OMN；O
10、MPA；直线PD与直线MN所成角的大小为90.其中正确结论的序号是.解析：连接AC，易得PCOM，所以PC平面OMN，结论正确.同理PDON，所以平面PCD平面OMN，结论正确.由于四棱锥的棱长均相等，所以AB2BC2PA2PC2AC2，所以PCPA，又PCOM，所以OMPA，结论正确.由于M，N分别为侧棱PA，PB的中点，所以MNAB.又四边形ABCD为正方形，所以ABCD，所以直线PD与直线MN所成的角即为直线PD与直线CD所成的角，即为PDC.又三角形PDC为等边三角形，所以PDC60，故错误.答案：三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）如图，在四
11、棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，且PBPD.（1）求证：BDPC；（2）若平面PBC与平面PAD的交线为l，求证：BCl.证明：（1）连接AC，交BD于点O，连接PO.因为四边形ABCD为菱形，所以BDAC.又因为PBPD，O为BD的中点，所以BDPO.因为POACO，所以BD平面PAC，因为PC平面PAC，所以BDPC.（2）因为四边形ABCD为菱形，所以BCAD.因为BC平面PAD，AD平面PAD.所以BC平面PAD.又因为BC平面PBC，平面PBC与平面PAD的交线为l.所以BCl.18.（本小题满分12分）如图，在三棱锥PABC中，AB平面PAC，APC90，E是AB的中点，M是
12、CE的中点，N在PB上，且PB4PN.（1）求证：平面PCE平面PAB；（2）求证：MN平面PAC.证明：（1）因为AB平面PAC，所以ABPC.又APC90，所以APPC，又ABAPA，所以PC平面PAB.又PC平面PCE，所以平面PCE平面PAB.（2）取AE的中点Q，连接QN，QM，在AEC中，因为M是CE的中点，所以QMAC.又PB4PN，AB4AQ，所以QNAP，又QMQNQ，ACAPA，所以平面QMN平面PAC.又MN平面QMN，所以MN平面PAC.19.（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点.（1）证明：BC1平面A1CD；（2）设
13、AA1ACCB2，AB2，求三棱锥CA1DE的体积.解：（1）证明：连接AC1交A1C于点F，连接DF，则F为AC1的中点.又D是AB中点，则BC1DF.因为DF平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1平面A1CD.（2）因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以AA1CD.因为ACCB，D为AB的中点，所以CDAB.又AA1ABA，所以CD平面ABB1A1.由AA1ACCB2，AB2得ACB90，CD，A1D，DE，A1E3，故A1D2DE2A1E2，即DEA1D.所以V三棱锥CA1DE1.20.（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面
14、ABCD是边长为2的菱形，BAD60，N是PB的中点，E为AD的中点，过A，D，N的平面交PC于点M.求证：（1）EN平面PDC；（2）BC平面PEB；（3）平面PBC平面ADMN.证明：（1）因为ADBC，BC平面PBC，AD平面PBC，所以AD平面PBC.又平面ADMN平面PBCMN，所以ADMN.又因为ADBC，所以MNBC.又因为N为PB的中点，所以M为PC的中点，所以MNBC.因为E为AD的中点，DEADBCMN，所以DEMN，所以四边形DENM为平行四边形，所以ENDM.又因为EN平面PDC，DM平面PDC，所以EN平面PDC.（2）因为四边形ABCD是边长为2的菱形，且BAD60
15、，E为AD的中点，所以BEAD.又因为PEAD，PEBEE，所以AD平面PEB.因为ADBC，所以BC平面PEB.（3）由（2）知ADPB.又因为PAAB，且N为PB的中点，所以ANPB.因为ADANA，所以PB平面ADMN.又因为PB平面PBC，所以平面PBC平面ADMN.21.（本小题满分12分）如图（1），在直角梯形ABCD中，ADBC，BAD90，ABBCADa，E是AD的中点，O是AC与BE的交点，将ABE沿BE折起到图（2）中A1BE的位置，得到四棱锥A1BCDE.（1）求证：CD平面A1OC；（2）当平面A1BE平面BCDE时，四棱锥A1BCDE的体积为36，求a的值.解：（1）
16、证明：在题图（1）中，因为ABBCADa，E是AD的中点，BAD90，所以BEAC，BCED，即在题图（2）中，BEA1O，BEOC，从而BE平面A1OC.又BCED，所以四边形BCDE是平行四边形，所以CDBE，所以CD平面A1OC.（2）由已知，平面A1BE平面BCDE，且平面A1BE平面BCDEBE，即A1O是四棱锥A1BCDE的高.由题图（1），可知A1OABa，平行四边形BCDE的面积SBCABa2.从而四棱锥A1BCDE的体积VSA1Oa2aa3.由a336，得a6.22.（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，M为棱AC的中点.ABBC，AC
17、2，AA1.（1）求证：B1C平面A1BM；（2）求证：AC1平面A1BM；（3）在棱BB1上是否存在点N，使得平面AC1N平面AA1C1C？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由.解：（1）证明：连接AB1交A1B于O，连接OM.如图所示.在B1AC中，因为M，O分别为AC，AB1的中点，所以OMB1C.又OM平面A1BM，B1C平面A1BM，所以B1C平面A1BM.（2）证明：因为侧棱AA1底面ABC，BM平面ABC，所以AA1BM.因为M为棱AC的中点，ABBC，所以BMAC.又AA1ACA，所以BM平面ACC1A1，所以BMAC1.因为M为棱AC的中点，AC2，所以AM1.又AA1，所以在RtACC1和RtA1AM中，tanAC1CtanA1MA，所以AC1CA1MA，所以AC1CC1ACA1MAC1AC90，所以A1MAC1.因为BMA1MM，所以AC1平面A1BM.（3）存在点N，且当点N为BB1的中点，即时，平面AC1N平面AA1C1C.设AC1的中点为D，连接DM，DN.如图所示.因为D，M分别为AC1，AC的中点，所以DMCC1，且DMCC1.又N为BB1的中点，所以DMBN，且DMBN，所以四边形DMBN是平行四边形，所以BMDN.因为BM平面ACC1A1，所以DN平面ACC1A1.又DN平面AC1N，所以平面AC1N平面ACC1A1.- 11 -
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