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课时素养评价 四十七
正弦函数、余弦函数的图象
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.(多选题)用“五点法”画y=3sin x,x∈[0,2π]的图象时,下列是关键点的是
( )
A. B.
C.(π,0) D.(2π,0)
【解析】选B、C、D.五个关键点的横坐标依次是0,,π,,2π.代入横坐标,计算得B、C、D正确.
2.函数y=-sin x,x∈的简图是 ( )
【解析】选D.函数y=-sin x与y=sin x的图象关于x轴对称.
3.已知f(x)=sin,g(x)=cos,则f(x)的图象 ( )
A.与g(x)的图象相同
B.与g(x)的图象关于y轴对称
C.向左平移个单位,得g(x)的图象
D.向右平移个单位,得g(x)的图象
【解析】选D.f(x)=sin,
g(x)=cos =cos =sin x,
f(x)的图象向右平移个单位得到g(x)的图象.
4.在[0,2π]内,不等式sin x<-的解集是( )
A.(0,π) B.
C. D.
【解析】选C.画出y=sin x,x∈[0,2π]的草图如图:
因为sin =,所以sin=-,
sin=-.即在[0,2π]内,满足sin x=-的是x=或x=.
可知不等式sin x<-的解集是.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.函数y=的定义域是________,值域是________.
【解析】要使函数有意义,只需2cos x-≥0,
即cos x≥.由余弦函数图象知(如图),
所求定义域为,k∈Z.
又因为≤cos x≤1,所以值域为[0,].
答案:,k∈Z
[0,]
6.若sin x=2m+1且x∈R,则m的取值范围是________.
【解析】因为sin x∈[-1,1],所以-1≤2m+1≤1,故-1≤m≤0.
答案:[-1,0]
三、解答题(共26分)
7.(12分)用“五点法”作出函数y=1+2sin x,x∈[0,2π]的图象.
【解析】列表:
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
-1
0
1+2sin x
1
3
1
-1
1
在直角坐标系中描出五点(0,1),,(π,1),,(2π,1),然后用光滑曲线顺次连接起来,就得到y=1+2sin x,x∈[0,2π]的图象.
8.(14分)根据y=cos x的图象解不等式:-≤cos x≤,x∈[0,2π].
【解析】函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象如图所示:
根据图象可得不等式-≤cos x≤(x∈[0,2π])的解集为
.
(15分钟·30分)
1.(4分)函数y=cos x+|cos x|,x∈[0,2π]的大致图象为 ( )
【解析】选D.由题意得
y=显然只有D合适.
2.(4分)方程sin x=的根的个数是 ( )
A.7 B.8 C.9 D.10
【解析】选A.在同一坐标系内画出y=和y=sin x的图象如图所示.
根据图象可知方程有7个根.
3.(4分)不等式sin x>cos x,x∈[0,2π]的解集为________.
【解析】在同一坐标系内画出函数y=sin x,x∈[0,2π],
y=cos x,x∈[0,2π]的图象如图所示.
观察图象可知,sin x>cos x,x∈[0,2π]的解集为.
答案:
【加练·固】
在(0,2π)内使sin x>|cos x|的x的取值范围是 ( )
A. B.∪
C. D.
【解析】选A.因为sin x>|cos x|,所以sin x>0,所以x∈(0,π),在同一坐标系中画出y=sin x,x∈(0,π)与y=|cos x|,x∈(0,π)的图象,观察图象易得
sin x>|cos x|的x的取值范围是.
4.(4分)函数f(x)=lg cos x+的定义域为________.
【解析】由题意,得x满足不等式组
即作出y=cos x的图象,如图所示.
结合图象可得x∈∪∪.
答案:∪∪
5.(14分)函数f(x)=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,求k的取值范围.
【解析】f(x)=sin x+2|sin x|=
图象如图所示,
若使f(x)的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,根据图象可得k的取值范围是(1,3).
1.若函数y=2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形,则这个封闭图形的面积是 ( )
A.4 B.8 C.2π D.4π
【解析】选D.作出函数y=2cos x,x∈[0,2π]的图象,函数y=2cos x,x∈[0,
2π]的图象与直线y=2围成的平面图形为如图所示的阴影部分.
利用图象的对称性可知,该阴影部分的面积等于矩形OABC的面积,又因为OA=2,OC=2π,
所以S阴影部分==2×2π=4π.
2.若方程sin x=在x∈上有两个实数根,求a的取值范围.
【解析】在同一直角坐标系中作出y=sin x,x∈的图象,y=的图象,由图象可知,当≤<1,即-1<a≤1-时,y=sin x,x∈的图象与y=的图象有两个交点,即方程sin x=在x∈上有两个实数根.
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