2019_2020学年新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4.1.2指数函数的性质与图像课后篇巩固提升新人教B版必修第二册.docx

4.1.2　指数函数的性质与图像
课后篇巩固提升
夯实基础
1.函数y=ax-2+1(a>0,且a≠1)的图像必经过点(　　)
A.(0,1) B.(1,1)
C.(2,1) D.(2,2)
答案D
2.(多选)下列四个函数中,值域包含(0,+∞)的函数是(　　)
A.y=21x B.y=2x-1
C.y=2x+1 D.y=122-x
答案BD
3.f(x)为定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=3x+2x+b(b为常数),则f(-1)的值为(　　)
A.3 B.4 C.-4 D.-3
答案C
解析∵f(x)为R上的奇函数,
∴f(0)=0,即30+b=0,得b=-1.
∴f(-1)=-f(1)=-(31+2-1)=-4.
4.函数y=ax-a(a>0,a≠1)的图像可能是(　　)

答案C
解析令y=ax-a=0,得x=1,即函数图像必过定点(1,0),符合条件的只有选项C.
5.2323,2313,2523的大小关系是(　　)
A.2313>2323>2523
B.2313>2523>2323
C.2523>2313>2323
D.2323>2313>2523
答案A

解析画出y=23x和y=25x的大致图像,如图所示.由图可知2313>2323>2523.故选A.
6.已知函数f(x)=|2x-2|(x∈(-1,2)),则函数y=f(x-1)的值域为　　　　　. 
答案[0,2)
解析y=f(x-1)的值域与函数y=f(x)的值域相同,而当x∈(-1,2)时,f(x)=|2x-2|∈[0,2),所以函数f(x-1)的值域为[0,2).
7.函数y=4-2x的定义域为　　　　　. 
答案(-∞,2]
解析由二次根式有意义,得4-2x≥0,即2x≤4=22.因为y=2x在R上是增函数,所以x≤2,即定义域为(-∞,2].
8.方程2|x|+x=2的实数根的个数为　　　　　. 
答案2

解析由2|x|+x=2,得2|x|=2-x.
在同一平面直角坐标系中作出y=2|x|与y=2-x的图像,如图所示,两个函数图像有且仅有2个交点,故方程有2个实数根.
9.已知0<a<1,解关于x的不等式a2x2-3x+2>a2x2+2x-3.
解∵0<a<1,∴y=ax在(-∞,+∞)内为减函数.
∵a2x2-3x+2>a2x2+2x-3,∴2x2-3x+2<2x2+2x-3.∴x>1.即不等式解集为(1,+∞).
10.已知函数f(x)=ax-2(x≥0)的图像经过点4,19,其中a>0,且a≠1.
(1)求a的值;
(2)求函数y=f(x)(x≥0)的值域.
解(1)函数图像经过点4,19,
∴a4-2=19=132,∴a=13.
(2)f(x)=13x-2(x≥0),
由x≥0,得x-2≥-2,
∴0<13x-2≤13-2=9.
∴函数y=f(x)(x≥0)的值域为(0,9].
能力提升
1.定义运算a􀱇b=a,a≤b,b,a>b,则函数f(x)=1􀱇2x的图像是(　　)

答案A
解析∵f(x)=1􀱇2x=1,x≥0,2x,x<0,
∴A选项中的图像符合题意.
2.已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b)的图像如图所示,则函数g(x)=1ax+b的图像是(　　)

答案A
解析由f(x)=(x-a)(x-b)(a>b)的图像可知,a>1,-1<b<0,于是0<1a<1.
故g(x)=1ax+b的图像可由函数y=1ax的图像向下平移|b|个单位长度所得,再结合0<1a<1及过定点(0,1+b),且1+b>0,可知选A.
3.已知函数f(x)=(1-3a)x+10a,x≤7,ax-7,x>7是定义域为R的减函数,则实数a的取值范围是(　　)
A.13,12 B.13,611
C.12,23 D.12,611
答案B
解析∵f(x)是定义域为R的减函数,
∴0<a<1,1-3a<0,7(1-3a)+10a≥a7-7=1,
即0<a<1,a>13,a≤611,解得13<a≤611.
4.已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=ax-a-x+2(a>0,且a≠1).若g(a)=a,则f(a)=(　　)
A.2 B.154 C.174 D.a2
答案B
解析∵f(x)是定义在R上的奇函数,g(x)是定义在R上的偶函数,
∴由f(x)+g(x)=ax-a-x+2,①
得f(-x)+g(-x)=a-x-ax+2=-f(x)+g(x),②
①②联立解得f(x)=ax-a-x,g(x)=2,
又g(a)=a,∴a=2.
∴f(a)=f(2)=22-2-2=154,故选B.
5.设函数f(x)=x,x>0,4x,x≤0.若函数y=f(x)-k存在两个零点,则实数k的取值范围是　　　　　. 
答案(0,1]

解析∵函数y=f(x)-k存在两个零点,∴函数y=f(x)与y=k的图像有两个公共点.在同一个坐标系中作出它们的图像(如图),由图像可知:实数k的取值范围是(0,1].
6.记x2-x1为区间[x1,x2]的长度,已知函数y=2|x|,x∈[-2,a](a≥0),其值域为[m,n],则区间[m,n]的长度的最小值是　　　　　. 
答案3
解析令f(x)=y=2|x|,则f(x)=2x,0≤x≤a,2-x,-2≤x<0.
(1)当a=0时,f(x)=2-x在[-2,0]上为减函数,值域为[1,4].
(2)当a>0时,f(x)在[-2,0)上递减,在[0,a]上递增,
①若0<a≤2,则f(x)max=f(-2)=4,f(x)min=f(0)=1,值域为[1,4];
②若a>2,则f(x)max=f(a)=2a>4,f(x)min=f(0)=1,值域为[1,2a].
综合(1)(2),可知区间[m,n]的长度的最小值为3.
7.根据函数y=|2x-1|的图像判断:当实数m为何值时,方程|2x-1|=m无解?有一解?有两解?
解函数y=|2x-1|的图像可由指数函数y=2x的图像先向下平移1个单位长度,再作x轴下方的部分关于x轴对称的图形,如图所示,

观察两函数y=|2x-1|,y=m的图像可知:
当m<0时,两函数图像没有公共点,所以方程|2x-1|=m无解;
当m=0或m≥1时,两函数图像只有一个公共点,所以方程|2x-1|=m有一解;
当0<m<1时,两函数图像有两个公共点,所以方程|2x-1|=m有两解.
8.设a是实数,f(x)=a-22x+1(x∈R).
(1)试证明对于任意a,f(x)为增函数;
(2)试确定a的值,使f(x)为奇函数.
(1)证明设x1,x2∈R,且x1<x2,Δx=x2-x1>0.则Δy=f(x2)-f(x1)=a-22x2+1-a-22x1+1
=22x1+1-22x2+1=2(2x2-2x1)(2x1+1)(2x2+1).
由于指数函数y=2x在R上是增函数,且x1<x2,
所以2x1<2x2,即2x2-2x1>0.
又由2x>0,得2x1+1>0,2x2+1>0.所以f(x2)-f(x1)>0.所以对于任意实数a,f(x)为增函数.
(2)解若f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x),
即a-22-x+1=-a-22x+1,
变形得2a=2·2x(2-x+1)·2x+22x+1=2(2x+1)2x+1,
解得a=1.所以当a=1时,f(x)为奇函数.

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