资源描述
2.2.2 不等式的解集
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．不等式组的解集为( )
A．(－∞，－12) B.
C. D.
答案 B
解析 不等式组可化为
解不等式①，得x＞－.解不等式②，得x≤.所以原不等式组的解集为.故选B.
2．“|x－1|＜2成立”是“x(x－3)＜0成立”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 ∵|x－1|＜2成立⇔－1＜x＜3成立，x(x－3)＜0成立⇔0＜x＜3成立，又－1＜x＜30＜x＜3,0＜x＜3⇒－1＜x＜3，∴“|x－1|＜2成立”是“x(x－3)＜0成立”的必要不充分条件．故选B.
3．不等式3≤|5－2x|<9的解集为( )
A．(－∞，－2)∪(7，＋∞)
B．[1,4]
C．[－2,1]∪[4,7]
D．(－2,1]∪[4,7)
答案 D
解析 不等式等价于
解得－2<x≤1或4≤x<7.所以原不等式的解集为(－2，1]∪[4,7)．故选D.
4．不等式|x－1|＋|x－2|≥5的解集为( )
A．(－∞，－1]∪[4，＋∞)
B．(－∞，1]∪[2，＋∞)
C．(－∞，1]
D．[2，＋∞)
答案 A
解析 画数轴可得：
当x＝－1或x＝4时，有|x－1|＋|x－2|＝5.由绝对值的几何意义可得，当x≤－1或x≥4时，|x－1|＋|x－2|≥5，故选A.
5．设集合A＝{x||x－a|＜1，x∈R}，B＝{x||x－b|＞2，x∈R}．若A⊆B，则实数a，b必满足( )
A．|a＋b|≤3 B．|a＋b|≥3
C．|a－b|≤3 D．|a－b|≥3
答案 D
解析 由|x－a|＜1，得a－1＜x＜a＋1.由|x－b|＞2，得x＜b－2或x＞b＋2.∵A⊆B，∴a－1≥b＋2或a＋1≤b－2，即a－b≥3或a－b≤－3，∴|a－b|≥3.
二、填空题
6．不等式||x－2|－1|≤1的解集为________．
答案 [0,4]
解析 原不等式可转化为－1≤|x－2|－1≤1，故0≤|x－2|≤2，解得0≤x≤4，故所求不等式的解集为[0,4]．
7.＞0的解集为________．
答案 (－∞，－3)∪∪
解析 ∵分母|x＋3|＞0且x≠－3，
∴原不等式等价于|2x－1|－2＞0，即|2x－1|＞2，
∴2x－1＞2或2x－1＜－2，解得x＞或x＜－.
∴原不等式的解集为，即(－∞，－3)∪∪.
8．已知不等式|ax＋b|＜2(a≠0)的解集为{x|1＜x＜5}，则实数a，b的值为________．
答案 1，－3或－1,3
解析 原不等式等价于－2＜ax＋b＜2.
①当a＞0时，解得－＜x＜，与1＜x＜5比较，得解得
②当a＜0时，解得＜x＜－，与1＜x＜5比较，得解得
综上所述，a＝1，b＝－3或a＝－1，b＝3.
三、解答题
9．解下列不等式：
(1)|4x＋5|≥25；(2)|3－2x|＜9；
(3)1＜|x－1|＜5；(4)|x－1|＞|x－2|.
解 (1)因为|4x＋5|≥25⇔4x＋5≥25或4x＋5≤－25⇔4x≥20或4x≤－30⇔x≥5或x≤－，
所以原不等式的解集为∪[5，＋∞)．
(2)因为|3－2x|＜9⇔|2x－3|＜9⇔－9＜2x－3＜9⇔－6＜2x＜12⇔－3＜x＜6，
所以原不等式的解集为(－3,6)．
(3)因为1＜|x－1|＜5⇔1＜x－1＜5或－5＜x－1＜－1⇔2＜x＜6或－4＜x＜0，
所以原不等式的解集为(－4,0)∪(2,6)．
(4)|x－1|＞|x－2|⇔(x－1)2＞(x－2)2⇔x2－2x＋1＞x2－4x＋4⇔2x＞3⇔x＞，
所以原不等式的解集为.
10．解不等式|3x－2|＋|x－1|＞3.
解 ①当x≤时，|3x－2|＋|x－1|＝2－3x＋1－x＝3－4x，由3－4x＞3，得x＜0.
②当＜x＜1时，|3x－2|＋|x－1|＝3x－2＋1－x＝2x－1，由2x－1＞3，得x＞2，∴x∈∅.
③当x≥1时，|3x－2|＋|x－1|＝3x－2＋x－1＝4x－3，由4x－3＞3，得x＞，∴x＞.
故原不等式的解集为(－∞，0)∪.
B级：“四能”提升训练
1．若|x＋1|＋2|x－a|的最小值为5，求实数a的值．
解 当a≤－1时，
|x＋1|＋2|x－a|＝
所以(|x＋1|＋2|x－a|)min＝－a－1，
所以－a－1＝5，所以a＝－6.
当a>－1时，
|x＋1|＋2|x－a|＝
所以(|x＋1|＋2|x－a|)min＝a＋1，
所以a＋1＝5，所以a＝4.
综上可知，a＝－6或a＝4.
2．已知P＝|2x－1|＋|2x＋a|，Q＝x＋3.
(1)当a＝－2时，求不等式|2x－1|＋|2x＋a|＜x＋3的解集；
(2)设a＞－1，且当x∈时，|2x－1|＋|2x＋a|≤x＋3，求a的取值范围．
解 (1)解法一：当a＝－2时，不等式为|2x－1|＋|2x－2|＜x＋3.
当x≥1时，4x－3＜x＋3⇒x＜2；
当x≤时，－4x＋3＜x＋3⇒x＞0；
当＜x＜1时，1＜x＋3⇒x＞－2.
综上可知，当a＝－2时，不等式|2x－1|＋|2x＋a|＜x＋3的解集为(0,2)．
解法二：当a＝－2时，不等式|2x－1|＋|2x＋a|＜x＋3化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0.
设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，
则y＝
其图像如图所示，由图像可知，当且仅当x∈(0,2)时，y＜0，所以原不等式的解集为(0,2)．
(2)当x∈时，P＝|2x－1|＋|2x＋a|＝1＋a，
不等式|2x－1|＋|2x＋a|≤x＋3化为1＋a≤x＋3，
所以x≥a－2对x∈都成立，
故－≥a－2，即a≤.
从而a的取值范围是.
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