2019_2020学年新教材高中数学单元素养评价一新人教A版必修第一册.doc

单元素养评价(一)
(第一、二章)
(120分钟　150分)
一、单项选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.若ab≠0且a<b,则下列不等式一定成立的是 (　　)
A.> B.a2<b2
C.a2>b2 D.-a>-b
【解析】选D.A.a=-3,b=2排除;B.a=-2,b=1排除;C.a=,b=1排除;D正确.
2.命题“存在实数x,使x>1”的否定是 (　　)
A.对任意实数x,都有x>1
B.不存在实数x,使x≤1
C.对任意实数x,都有x≤1
D.存在实数x,使x≤1
【解析】选C.利用存在量词命题的否定是全称量词命题求解,“存在实数x,使x>1”的否定是“对任意实数x,都有x≤1”.
3.已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A⊆B”的 (　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.a=3时A={1,3},显然A⊆B.但A⊆B时,a=2或3.
4.已知集合P={x|x2-2x≥0},Q={x|1<x≤2},则(RP)∩Q等于 (　　)
A.{x|0≤x<1} B.{x|0<x≤2}
C.{x|1<x<2} D.{x|1≤x≤2}
【解析】选C.因为P={x|x≥2或x≤0},RP={x|0<x<2},所以(RP)∩Q={x|1<x<2}.
5.已知(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集是R,则实数a的取值范围是 (　　)
A.a<-或a>1 B.-<a<1
C.-<a≤1或a=-1 D.-<a≤1
【解析】选D.a=1显然满足题意,若该不等式为一元二次不等式,则必有a2<1,
由Δ=(a-1)2+4(a2-1)<0,解得-<a<1.
综上可知-<a≤1.
6.已知4枝郁金香和5枝丁香的价格小于22元,而6枝郁金香和3枝丁香的价格大于24元.设2枝郁金香的价格为A元,3枝丁香的价格为B元,则A,B的大小关系为 (　　)
A.A>B B.A=B
C.A<B D.不确定
【解析】选A.设每枝郁金香和每枝丁香的价格分别为x元和y元,由已知,得即不等式①两边同乘以4,不等式②两边同乘以11,得所以22x+11y>16x+20y.所以6x>9y, 即2x>3y.故2枝郁金香的价格比3枝丁香的价格贵,即A>B.
7. 一次函数y=-x+的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是
(　　)
A.m>1,且n<1 B.mn<0
C.m>0且n<0 D.m<0且n<0
【解析】选B.因为y=-x+经过第一、三、四象限,故->0,<0,即m>0,n<0,但此为充要条件,因此,其必要不充分条件为mn<0.
8.已知正实数a,b满足4a+b=30,使得+取最小值时,实数对(a,b)是 (　　)
A.(5,10) B.(6,6)
C.(10,5) D.(7,2)
【解析】选A.因为a,b为正实数,所以+=(4a+b)=≥×(5+2)=,当且仅当时取“=”.
即a=5,b=10.
9.已知条件p:x2+2x-3>0;条件q:x>a,且q的一个充分不必要条件是p,则a的取值范围是 (　　)
A.[1,+∞) B.(-∞,1]
C.[-1,+∞) D.(-∞,-3]
【解析】选A.由x2+2x-3>0,得x<-3或x>1,由q的一个充分不必要条件是p,可知p是q的充分不必要条件,等价于q是p的充分不必要条件,所以{x|x>a}⊆{x|x<-3或x>1},所以a≥1.
10.已知不等式(x+y)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为 (　　)

A.2　　　 B.4　　　 C.6　　　 D.8
【解析】选B.不等式(x+y)≥9对任意正实数x,y恒成立,则1+a++≥a+2+1≥9,所以≥2或≤-4(舍去),
所以正实数a的最小值为4.
二、多项选择题(本大题共3小题,每小题4分,共12分,在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的.全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
11.已知集合A={-2,-1,0,1},B={x|(x-1)(x+2)≤0},则 (　　)
A.A∩B={-2,-1,0,1}
B.A∪B={-2,-1,0,1}
C.A∩B={-1,0,1}
D.A∪B={x|-2≤x≤1}
【解析】选A、D.由A={-2,-1,0,1},
B={x|(x-1)(x+2)≤0}={x|-2≤x≤1},得A∩B={-2,-1,0,1},A∪B={x|-2≤x≤1}.
12.下列四个命题,其中假命题为 (　　)

A.∀x∈R,x2-3x+2>0恒成立
B.∃x∈Q,x2=2
C.∃x∈R,x2+1=0
D.∀x∈R,4x2>2x-1+3x2
【解析】选A、B、C、D.因为在x2-3x+2=0中,
Δ=(-3)2-4×2>0,所以当x>2或x<1时,x2-3x+2>0才成立,所以A为假命题.当且仅当x=±时,x2=2,所以不存在x∈Q,使得x2=2,所以B为假命题.对∀x∈R,x2+1≠0,所以C为假命题.4x2-(2x-1+3x2)=x2-2x+1=(x-1)2≥0,即当x=1时, 4x2=2x-1+3x2成立,所以D为假命题.
13.若0<a<b,且a+b=1,则在a,a2+b2,2ab,b四个数中 (　　)
A.a2+b2>2ab B.a<
C.b< D.b>a2+b2
【解析】选A、B、D.由于0<a<b,则a2+b2>2ab,又a+b=1则0<a<<b<1,又a2+b2-b=(a+b)2-2ab-b=1-2ab-b=a-2ab=a(1-2b)<0则b>a2+b2.
三、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分,将答案填在题中的横线上)
14.命题“∀x∈R,x2+2x+5≠0”是________命题(填“真”或“假”),它的否定是________. 
【解析】x2+2x+5=(x+1)2+4>0,故该命题为真命题,又因为全称量词命题的否定为存在量词命题,故命题的否定为“∃x∈R,使得x2+2x+5=0”.
答案:真　∃x∈R,使得x2+2x+5=0
15.若关于x的不等式tx2-6x+t2<0的解集为(-∞,a)∪(1,+∞),则a的值为________. 
【解析】不等式tx2-6x+t2<0的解集为(-∞,a)∪(1,+∞),所以1,a是方程tx2-6x+t2=0的两根,由根与系数的关系可得1+a=,a=t,所以a=-3,a=2(舍去).
答案:-3
16.已知集合A={x|x2-2x+a>0},且1∉A,则实数a的取值范围是________.  
【解析】因为1∉{x|x2-2x+a>0},所以1∈{x|x2-2x+a≤0},即1-2+a≤0,所以a≤1.
答案:{a|a≤1}
17.设正数a,b,c满足++≤,则=________.  
【解析】由++≤得:
(a+b+c)≤36.
即1+++4+++9++≤36,
即+++++≤22,
因为+++++=++≥22,
所以b=2a,c=3a时取等号,所以==.
答案:
四、解答题(本大题共6小题,共82分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
18.(12分)已知集合A={x∈R||x+2|<3},集合B={x∈R|(x-m)(x-2)<0}且A∩B=(-1,n),求m,n.
【解析】A={x∈R||x+2|<3}={x∈R|-5<x<1},由A∩B=(-1,n)可知m<1,
则B={x|m<x<2},画出数轴,可得m=-1,n=1.

19.(14分)已知p:(a-1)2≤1,q:∀x∈R,ax2-ax+1≥0,判断p是q成立的什么条件.
【解析】由(a-1)2≤1解得0≤a≤2,
所以p:0≤a≤2.当a=0时,ax2-ax+1≥0对∀x∈R恒成立;当a≠0时,
由得0<a≤4,所以q:0≤a≤4.所以p是q成立的充分不必要条件.
20.(14分)设x∈R,比较与1-x的大小.
【解析】作差:-(1-x)=,
①当x=0时,因为=0,所以=1-x;
②当1+x<0,即x<-1时,因为<0,所以<1-x;
③当1+x>0且x≠0,即-1<x<0或x>0时,因为>0,所以>1-x.
21.(14分) 已知关于x的不等式kx2-2x+6k<0(k≠0).
(1)若不等式的解集为{x|x<-3或x>-2},求k的值.
(2)若不等式的解集为R,求k的取值范围.
【解析】(1)因为不等式kx2-2x+6k<0的解集为{x|x<-3或x>-2},所以x1=-3与x2=-2是方程kx2-2x+6k=0(k≠0)的两根,所以-==-3-2,所以k=-.
(2)若不等式的解集为R,即x∈R,kx2-2x+6k<0恒成立,则满足所以k<-.
22.(14分) 已知不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}.
(1)求a,b的值.
(2)解不等式ax2-(ac+b)x+bc<0.
【解析】(1)因为不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b},所以x1=1与x2=b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根,b>0且a>0由根与系数的关系得解得
(2)不等式ax2-(ac+b)x+bc<0,即x2-(2+c)x+2c<0,即(x-2)(x-c)<0,
当c>2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{x|2<x<c};当c<2时不等式(x-2)(x-c) <0的解集为{x|c<x<2};当c=2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为∅.
23.(14分)玩具所需成本费用为P元,且P与生产套数x的关系为P=1 000+5x+ x2,而每套售出的价格为Q元,其中Q(x)=a+(a,b∈R),
(1)问:该玩具厂生产多少套时,使得每套所需成本费用最少?
(2)若生产出的玩具能全部售出,且当产量为150套时利润最大,此时每套价格为30元,求a,b的值.(利润=销售收入-成本)
【解析】(1)每套玩具所需成本费用为==x++5≥2+5=25,当x=,即x=100时等号成立,故该玩具厂生产100套时每套所需成本最少.
(2)利润为x·Q(x)-P=x-=x2+(a-5)x-1 000,
由题意得
解得a=25,b=30.

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