2019_2020学年新教材高中数学第六章平面向量初步6.3平面向量线性运算的应用课后篇巩固提升新人教B版必修第二册.docx

6.3平面向量线性运算的应用课后篇巩固提升夯实基础1.(多选)若O是ABC所在平面内一点,且满足|OB-OC|=|OB+OC-2OA|,则ABC的形状不可能是()A.钝角三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形答案AD解析设点M为BC边的中点,由题意可得:|OB-OC|=|CB|,|OB+OC-2OA|=|2OM-2OA|=2|AM|,据此结合题意可知:CB=2AM,由三角形的性质可知:ABC的形状是直角三角形.故选AD.2.已知ABC满足AB|AB|-AC|AC|=kBC(其中k是非零常数),则ABC的形状一定是()A.正三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.直角三角形答案C解析ABC中,AB|AB|-AC|AC|=kBC(其中k是非零常数),如图所示;AB|AB|-AC|AC|=k(AC-AB),AB|AB|+kAB=kAC+AC|AC|,1|AB|+kAB=k+1|AC|AC,又AB、AC不共线,1|AB|+k=k+1|AC|=0,|AB|=|AC|,ABC是等腰三角形.故选C.3.已知两个力F1,F2的夹角为90,它们的合力大小为10 N,合力与F1的夹角为60,那么F2的大小为()A.53 NB.5 NC.10 ND.52 N答案A解析由题意可知:对应向量如图,由于=60,F2的大小为|F合|sin60=1032=53.故选A.4.河水从东向西流,流速为2 km/h,一艘船以23 km/h垂直于水流方向向北横渡,则船实际航行的速度的大小是 km/h.答案4解析由题意,如图,OA表示水流速度,OB表示船在静水中的速度,则OC表示船的实际速度,则|OA|=2,|OB|=23,AOB=90,|OC|=4.5.ABC所在平面上一点P满足PA+PC=mAB(m0,m为常数),若ABP的面积为6,则ABC的面积为.答案12解析取AC的中点O,则PA+PC=mAB(m0,m为常数),mAB=2PO,C到直线AB的距离等于P到直线AB的距离的2倍,故SABC=2SABP=12.6.已知三个力F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(x,y)和合力F1+F2+F3=0,则F3的坐标为.答案(-5,1)解析因为F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(x,y),所以F1+F2+F3=(3,4)+(2,-5)+(x,y)=0,所以(3+2+x,4-5+y)=0,所以x+5=0,y-1=0,解得x=-5,y=1.所以F3的坐标为(-5,1).7.在静水中划船速度的大小是每分钟40 m,水流速度的大小是每分钟20 m,如果一小船从岸边O处出发,沿着垂直于水流的航线到达对岸,则小船的行进方向应指向哪里?解如图所示,设向量OA的长度和方向表示水流速度的大小和方向,向量OB的长度和方向表示船在静水中速度的大小和方向,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,连接OC.依题意OCOA,BC=OA=20,OB=40,BOC=30.故船应向上游(左)与河岸夹角为60的方向行进.能力提升1.已知点O是ABC内部一点,并且满足OA+2OB+3OC=0,BOC的面积为S1,ABC的面积为S2,则S1S2=()A.16B.13C.23D.34答案A解析因为OA+2OB+3OC=0,所以OA+OC=-2(OB+OC),分别取AC,BC的中点D,E,则OA+OC=2OD,OB+OC=2OE.所以OD=-2OE,即O,D,E三点共线且|OD|=2|OE|.如图所示,则SOBC=13SDBC,由于D为AC中点,所以SDBC=12SABC,所以SOBC=16SABC.故选A.2.如图,在长方形ABCD中,M,N分别为线段BC,CD的中点,若MN=1AM+2BN,1,2R,则1+2的值为.答案25解析设AB=a,AD=b(a0,b0),以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立如图所示坐标系,则A(0,0),B(a,0),C(a,b),D(0,b),Ma,12b,N12a,b,则MN=-12a,12b,AM=a,12b,BN=-12a,b,即-12a,12b=1a,12b+2-12a,b,则-12a=1a-122a,12b=12b1+2b,即-12=1-122,12=121+2,解得1=-15,2=35,则1+2=25.3.在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,AB=(2,4),AC=(1,3),则AD的坐标为,BD的坐标为.答案(-1,-1)(-3,-5)解析因为BC=AC-AB=(1,3)-(2,4)=(-1,-1),AD=BC=(-1,-1),所以BD=AD-AB=(-1,-1)-(2,4)=(-3,-5).4.如图,已知河水自西向东流速为|v0|=1 m/s,设某人在静水中游泳的速度为v1,在流水中实际速度为v2.(1)若此人朝正南方向游去,且|v1|=3 m/s,求他实际前进方向与水流方向的夹角和v2的大小;(2)若此人实际前进方向与水流垂直,且|v2|=3 m/s,求他游泳的方向与水流方向的夹角和v1的大小.解如图,设OA=v0,OB=v1,OC=v2,则由题意知v2=v0+v1,|OA|=1,根据向量加法的平行四边形法则得四边形OACB为平行四边形.(1)由此人朝正南方向游去得四边形OACB为矩形,且|OB|=AC=3,如图所示,则在直角OAC中,|v2|=OC=OA2+AC2=2,tanAOC=31=3,又=AOC0,2,所以=3.(2)由题意知=OCB=2,且|v2|=|OC|=3,BC=1,如图所示,则在直角OBC中,|v1|=OB=OC2+BC2=2,tanBOC=13=33,又AOC0,2,所以BOC=6,则=2+6=23.答:(1)他实际前进方向与水流方向的夹角为3,v2的大小为2m/s;(2)他游泳的方向与水流方向的夹角为23,v1的大小为2m/s.5.ABC中,点D和E分别在BC,AC上,且BD=13BC,CE=13CA,AD与BE交于点R,证明:RD=17AD.解由A,D,R三点共线,可得CR=CD+(1-)CA=23CB+(1-)CA.由B、E、R三点共线,可得CR=CB+(1-)CE=CB+13(1-)CA.23=,1-=13(1-),=67,=47,CR=47CB+17CA,AD=CD-CA=23CB-CA,RD=CD-CR=23CB-47CB+17CA=221CB-17CA=1723CB-CA=17AD.6.等边ABC的边长为4,点P是ABC内(包括边界)的一动点,且AP=34AB+14AC(R),则|AP|的最大值为()A.3B.13C.23D.21答案B解析以A为原点,以AB所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系.ABC是边长为4的等边三角形,A(0,0),B(4,0),C(2,23).设点P的坐标为(x,y),则0x4,0y23.AP=34AB+14AC,(x,y)=34(4,0)+14(2,23)=3+2,32,x=3+2,y=32,消去可得y=3(x-3),点P在直线y=3(x-3)上.又由条件得直线BC的方程为:y=-3(x-4),由解得x=72,y=32,此时|AP|最大,且最大值为|AP|=494+34=13,故选B.7.如图,在ABC中,CM=2MB,过点M的直线分别交射线AB,AC于不同的两点P,Q,若AP=mAB,AQ=nAC,则mn+m的最小值为()A.2B.23C.6D.63答案A解析由已知,可得AM=AB+BM=AB+13BC=AB+13(AC-AB)=23AB+13AC=23mPB+13nAQ,因为P,M,Q三点共线,所以23m+13n=1,所以mn+m=2n+m3+m=2n3+4m3=2n3+4m323m+13n=109+4n9m+4m9n109+24n9m4m9n=2,故选A.8