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6.3 平面向量线性运算的应用
课后篇巩固提升
夯实基础
1.(多选)若O是△ABC所在平面内一点,且满足|OB-OC|=|OB+OC-2OA|,则△ABC的形状不可能是( )
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
答案AD
解析设点M为BC边的中点,由题意可得:
|OB-OC|=|CB|,
|OB+OC-2OA|=|2OM-2OA|=2|AM|,
据此结合题意可知:CB=2AM,
由三角形的性质可知:△ABC的形状是直角三角形.
故选AD.
2.已知△ABC满足AB|AB|-AC|AC|=kBC(其中k是非零常数),则△ABC的形状一定是( )
A.正三角形 B.钝角三角形
C.等腰三角形 D.直角三角形
答案C
解析△ABC中,AB|AB|-AC|AC|=k×BC(其中k是非零常数),
如图所示;
∴AB|AB|-AC|AC|=k×(AC-AB),
∴AB|AB|+kAB=kAC+AC|AC|,
∴1|AB|+kAB=k+1|AC|AC,
又AB、AC不共线,∴1|AB|+k=k+1|AC|=0,
∴|AB|=|AC|,∴△ABC是等腰三角形.
故选C.
3.已知两个力F1,F2的夹角为90°,它们的合力大小为10 N,合力与F1的夹角为60°,那么F2的大小为( )
A.53 N B.5 N
C.10 N D.52 N
答案A
解析由题意可知:对应向量如图,由于α=60°,
∴F2的大小为|F合|·sin60°=10×32=53.故选A.
4.河水从东向西流,流速为2 km/h,一艘船以23 km/h垂直于水流方向向北横渡,则船实际航行的速度的大小是 km/h.
答案4
解析由题意,如图,OA表示水流速度,OB表示船在静水中的速度,
则OC表示船的实际速度,
则|OA|=2,|OB|=23,∠AOB=90°,
∴|OC|=4.
5.△ABC所在平面上一点P满足PA+PC=mAB(m>0,m为常数),若△ABP的面积为6,则△ABC的面积为 .
答案12
解析取AC的中点O,则∵PA+PC=mAB(m>0,m为常数),
∴mAB=2PO,
∴C到直线AB的距离等于P到直线AB的距离的2倍,故S△ABC=2S△ABP=12.
6.已知三个力F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(x,y)和合力F1+F2+F3=0,则F3的坐标为 .
答案(-5,1)
解析因为F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(x,y),所以F1+F2+F3=(3,4)+(2,-5)+(x,y)=0,
所以(3+2+x,4-5+y)=0,
所以x+5=0,y-1=0,解得x=-5,y=1.
所以F3的坐标为(-5,1).
7.在静水中划船速度的大小是每分钟40 m,水流速度的大小是每分钟20 m,如果一小船从岸边O处出发,沿着垂直于水流的航线到达对岸,则小船的行进方向应指向哪里?
解如图所示,设向量OA的长度和方向表示水流速度的大小和方向,向量OB的长度和方向表示船在静水中速度的大小和方向,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,连接OC.
依题意OC⊥OA,BC=OA=20,OB=40,
∴∠BOC=30°.
故船应向上游(左)与河岸夹角为60°的方向行进.
能力提升
1.已知点O是△ABC内部一点,并且满足OA+2OB+3OC=0,△BOC的面积为S1,△ABC的面积为S2,则S1S2=( )
A.16 B.13 C.23 D.34
答案A
解析因为OA+2OB+3OC=0,
所以OA+OC=-2(OB+OC),
分别取AC,BC的中点D,E,则OA+OC=2OD,OB+OC=2OE.
所以OD=-2OE,即O,D,E三点共线且|OD|=2|OE|.如图所示,
则S△OBC=13S△DBC,由于D为AC中点,所以S△DBC=12S△ABC,所以S△OBC=16S△ABC.故选A.
2.
如图,在长方形ABCD中,M,N分别为线段BC,CD的中点,若MN=λ1AM+λ2BN,λ1,λ2∈R,则λ1+λ2的值为 .
答案25
解析设AB=a,AD=b(a≠0,b≠0),以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立如图所示坐标系,则A(0,0),B(a,0),C(a,b),D(0,b),Ma,12b,N12a,b,则MN=-12a,12b,AM=a,12b,BN=-12a,b,
即-12a,12b=λ1a,12b+λ2-12a,b,
则-12a=λ1a-12λ2a,12b=12bλ1+λ2b,即-12=λ1-12λ2,12=12λ1+λ2,解得λ1=-15,λ2=35,则λ1+λ2=25.
3.在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,AB=(2,4),AC=(1,3),则AD的坐标为 ,BD的坐标为 .
答案(-1,-1) (-3,-5)
解析因为BC=AC-AB=(1,3)-(2,4)=(-1,-1),AD=BC=(-1,-1),
所以BD=AD-AB=(-1,-1)-(2,4)=(-3,-5).
4.
如图,已知河水自西向东流速为|v0|=1 m/s,设某人在静水中游泳的速度为v1,在流水中实际速度为v2.
(1)若此人朝正南方向游去,且|v1|=3 m/s,求他实际前进方向与水流方向的夹角α和v2的大小;
(2)若此人实际前进方向与水流垂直,且|v2|=3 m/s,求他游泳的方向与水流方向的夹角β和v1的大小.
解如图,设OA=v0,OB=v1,OC=v2,
则由题意知v2=v0+v1,|OA|=1,
根据向量加法的平行四边形法则得四边形OACB为平行四边形.
(1)由此人朝正南方向游去得四边形OACB为矩形,且|OB|=AC=3,如图所示,
则在直角△OAC中,|v2|=OC=OA2+AC2=2,
tan∠AOC=31=3,又α=∠AOC∈0,π2,
所以α=π3.
(2)由题意知α=∠OCB=π2,且|v2|=|OC|=3,BC=1,如图所示,
则在直角△OBC中,|v1|=OB=OC2+BC2=2,
tan∠BOC=13=33,又∠AOC∈0,π2,
所以∠BOC=π6,
则β=π2+π6=2π3.
答:(1)他实际前进方向与水流方向的夹角α为π3,v2的大小为2m/s;
(2)他游泳的方向与水流方向的夹角β为2π3,v1的大小为2m/s.
5.△ABC中,点D和E分别在BC,AC上,且BD=13BC,CE=13CA,AD与BE交于点R,证明:RD=17AD.
解由A,D,R三点共线,可得CR=λCD+(1-λ)CA
=23λCB+(1-λ)CA.
由B、E、R三点共线,可得CR=μCB+(1-μ)CE=μCB+13(1-μ)CA.
∴23λ=μ,1-λ=13(1-μ),∴λ=67,μ=47,
∴CR=47CB+17CA,
∴AD=CD-CA=23CB-CA,
RD=CD-CR=23CB-47CB+17CA=221CB-17CA=1723CB-CA=17AD.
6.等边△ABC的边长为4,点P是△ABC内(包括边界)的一动点,且AP=34AB+14λAC(λ∈R),则|AP|的最大值为( )
A.3 B.13 C.23 D.21
答案B
解析以A为原点,以AB所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系.
∵△ABC是边长为4的等边三角形,
∴A(0,0),B(4,0),C(2,23).
设点P的坐标为(x,y),则0≤x≤4,0≤y≤23.
∵AP=34AB+14λAC,
∴(x,y)=34(4,0)+14λ(2,23)=3+λ2,32λ,
∴x=3+λ2,y=32λ,消去λ可得y=3(x-3)①,
∴点P在直线y=3(x-3)上.
又由条件得直线BC的方程为:y=-3(x-4)②,
由①②解得x=72,y=32,
此时|AP|最大,且最大值为|AP|=494+34=13,
故选B.
7.
如图,在△ABC中,CM=2MB,过点M的直线分别交射线AB,AC于不同的两点P,Q,若AP=mAB,AQ=nAC,则mn+m的最小值为( )
A.2 B.23 C.6 D.63
答案A
解析由已知,可得AM=AB+BM=AB+13BC=AB+13(AC-AB)
=23AB+13AC=23mPB+13nAQ,
因为P,M,Q三点共线,所以23m+13n=1,
所以mn+m=2n+m3+m=2n3+4m3=2n3+4m323m+13n
=109+4n9m+4m9n≥109+24n9m×4m9n=2,故选A.
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