2019_2020学年新教材高中数学第六章平面向量初步6.1.4数乘向量6.1.5向量的线性运算课后篇巩固提升新人教B版必修第二册.docx

6.1.4数乘向量6.1.5向量的线性运算课后篇巩固提升夯实基础1.在ABC中,M是BC的中点.若AB=a,BC=b,则AM=()A.12(a+b)B.12(a-b)C.12a+bD.a+12b答案D解析在ABC中,M是BC的中点,又AB=a,BC=b,所以AM=AB+BM=AB+12BC=a+12b,故选D.2.已知AB=a+5b,BC=-2a+8b,CD=3(a-b),则()A.A,B,D三点共线B.A,B,C三点共线C.B,C,D三点共线D.A,C,D三点共线答案A解析BD=BC+CD=-2a+8b+3(a-b)=a+5b=AB,所以A,B,D三点共线.3.下面四种说法:对于实数m和向量a,b,恒有m(a-b)=ma-mb;对于实数m,n和向量a,恒有(m-n)a=ma-na;对于实数m和向量a,b,若ma=mb,则a=b;对于实数m,n和向量a,若ma=na,则m=n.其中正确说法的个数是()A.4B.3C.2D.1答案C解析由数乘向量运算律,得均正确.对于,若m=0,由ma=mb,未必一定有a=b.对于,若a=0,由ma=na,未必一定有m=n.4.在ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则EB=()A.34AB-14ACB.14AB-34ACC.34AB+14ACD.14AB+34AC答案A解析如图,EB=-BE=-12(BA+BD)=12AB-14BC=12AB-14(AC-AB)=34AB-14AC.5.已知ABC中,向量AP=(AB+AC)(R),则点P的轨迹通过ABC的()A.垂心B.内心C.外心D.重心答案D解析设D为BC中点,则AB+AC=2AD,AP=2AD,即P点在中线AD上,可知P点轨迹必过ABC的重心,故选D.6.(多选)设a,b都是非零向量.下列四个条件中,使a|a|=b|b|成立的条件是()A.2a=bB.abC.a=2bD.ab且|a|=|b|答案AC解析a|a|,b|b|分别表示a,b的单位向量.对于A,当2a=b时,2a|2a|=a|a|=b|b|;对于B,当ab时,可能有a=-b,此时a|a|b|b|;对于C,当a=2b时,a|a|=2b|2b|=b|b|;对于D,当ab且|a|=|b|时,可能有a=-b,此时a|a|b|b|.综上所述,使a|a|=b|b|成立的条件是a=2b,2a=b.选AC.7.化简3(2a-3b)-2(2b-3a)=.答案12a-13b解析由题意,可得3(2a-3b)-2(2b-3a)=6a-9b-4b+6a=12a-13b.8.已知点P在直线AB上,且|AB|=4|AP|,设AP=PB,则实数=.答案13解析因为|AB|=4|AP|,所以P是四等分点,因此AP=13PB,故填13.9.如图,在ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,AE=23AD,AB=a,AC=b.(1)用a,b分别表示向量AE,BF;(2)求证:B,E,F三点共线.解(1)AD=12(AB+AC)=12(a+b),AE=23AD=13(a+b),AF=12AC=12b,BF=AF-AB=-a+12b.(2)由(1)知BF=-a+12b,BE=-23a+13b=23-a+12b,BE=23BF.BE与BF共线.又BE,BF有公共点B,B,E,F三点共线.能力提升1.(多选)正五角星是一个非常优美的几何图形,且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中,以A,B,C,D,E为顶点的多边形为正五边形,且PTAT=5-12.下列关系中不正确的是()A.BP-TS=5+12RSB.CQ+TP=5+12TSC.ES-AP=5-12BQD.AT+BQ=5-12CR答案BCD解析在如图所示的正五角星中,以A,B,C,D,E为顶点的多边形为正五边形,且PTAT=5-12.在A中,BP-TS=TE-TS=SE=5+12RS,故A正确;在B中,CQ+TP=PA+TP=TA=5+12ST,故B错误;在C中,ES-AP=RC-QC=5-12QB,故C错误;在D中,AT+BQ=SD+RD,5-12CR=RS=RD-SD,若AT+BQ=5-12CR,则SD=0,不合题意,故D错误.故选BCD.2.生于瑞士的数学家欧拉在1765年发表的三角形的几何学一书中有这样一个定理:“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上.”这就是著名的欧拉线定理,在ABC中,O,H,G分别是外心、垂心和重心,D为BC边的中点,下列四个结论:(1)GH=2OG;(2)GA+GB+GC=0;(3)AH=2OD;(4)SABG=SBCG=SACG.正确的个数为()A.1B.2C.3D.4答案D解析ABC中,O,H,G分别是外心、垂心和重心,画出图形,如图所示;对于(1),根据欧拉线定理得HG=2OG,选项(1)正确;对于(2),根据三角形的重心性质得GA+GB+GC=0,选项(2)正确;对于(3),AHOD,AHGDOG,AHOD=AGDG=2,AH=2OD,选项(3)正确;对于(4),过点G作GEBC,垂足为E,则GEAN=DGDA=13,BGC的面积为SBGC=12BCGE=12BC13AN=13SABC;同理,SAGC=SAGB=13SABC,选项(4)正确.故选D.3.在正方形ABCD中,E为线段AD的中点,若EC=AD+AB,则+=,若E在线段AD上,异于A,D两点,则+的取值范围为.答案32(1,2)解析(1)因为EC=ED+DC=12AD+AB,所以+=12+1=32.(2)EC=ED+DC=AD+AB,(0,1),所以+(1,2).4.已知点M是ABC所在平面内的一点,若满足6AM-AB-2AC=0,且SABC=SABM,则实数的值是.答案3解析记2AM=AN.AN-AB+2AN-2AC=0,BN=2NC,SABC=32SABN.又SABM=12SABN,SABC=3SABM,从而有=3.5.如图,在ABC中,AB=a,BC=b,AD为边BC的中线,G为ABC的重心,求向量AG.解AB=a,BC=b,则BD=12BC=12b,AD=AB+BD=a+12b而AG=23AD,AG=23a+13b.6.如图,F为线段BC的中点,CE=2EF,DF=35AF,设AC=a,AB=b,试用a,b表示AE,AD,BD.解因为CB=b-a,CE=23CF=13CB=13(b-a),所以AE=AC+CE=23a+13b.因为AF=12(a+b),所以AD=85AF=45(a+b),所以BD=AD-AB=45(a+b)-b=45a-15b.7