初高中数学衔接知识.doc

数 学
温馨提示：
①这套辅导材料用于同学们假期复习使用，均附有答案。
②请按照老师提示，认真复习初中教材，查阅工具书，独立完成。
③开学时将材料带回交给班主任验收，并据此安排入学考试。

进入高中，你们是高中生了，做好了充分的准备吗？其实学好高中数学并不难，你只要有坚韧不拔的毅力，认真做题，善于总结归纳，持之以恒，相信你一定能成功。
假期发给你们的这本小册子，是为了初高中知识衔接而编写的。为了使你们在初高中数学学习上形成较好的连续性，能有效地克服知识和方法上的跳跃，利于激发你们学习数学的兴趣。你们一定要利用好暑假，做好初、高中数学教材的衔接。A组题要全部完成，B组题供学有余力学生完成。

学数学的几个建议：
1、记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师为备战高考而加的课外知识。 记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。
2、建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。争取做到：找错、析错、改错、防错。达到：能从反面入手深入理解正确东西；能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药；解答问题完整、推理严密。
3、熟记一些数学规律和数学小结论，使自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。
4、经常对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”，如表格化，使知识结构一目了然；经常对习题进行类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一；使几类问题归纳于同一知识方法。
5、阅读数学课外书籍与报刊，参加数学学科课外活动与讲座，多做数学课外题，加大自学力度，拓展自己的知识面。
6、及时复习，强化对基本概念知识体系的理解与记忆，进行适当的反复巩固，消灭前学后忘。
7、学会从多角度、多层次地进行总结归类。如：①从数学思想分类②从解题方法归类③从知识应用上分类等，使所学的知识系统化、条理化、专题化、网络化。
8、经常在做题后进行一定的“反思”，思考一下本题所用的基础知识，数学思想方法是什么，为什么要这样想，是否还有别的想法和解法，本题的分析方法与解法，在解其它问题时，是否也用到过。
9、无论是作业还是测验，都应把准确性放在第一位，通法放在第一位，而不是一味地去追求速度或技巧，这是学好数学的重要问题。

初高中数学衔接教材

现有初高中数学知识存在以下“脱节”
1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。
2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要 求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。
3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。
4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。
5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，
6．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。
7．含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。
8．几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。
另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。

目 录
1.1 数与式的运算
1.1.1绝对值
1.1.2. 乘法公式
1.1.3．二次根式
1.1.４．分式
1．2 分解因式
2.1 一元二次方程
2.1.1根的判别式
2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）
2.2 二次函数
2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质
2.2.2 二次函数的三种表示方式
2.2.3 二次函数的简单应用
2.3 方程与不等式
2.3.1 二元二次方程组解法
2.3.2 一元二次不等式解法
3.1 相似形
3.1.1．平行线分线段成比例定理
3.1.2相似形
3.2 三角形
3.2.1 三角形的“四心”
3.2.2 几种特殊的三角形
3.3圆
3.3.1 直线与圆，圆与圆的位置关系

1.1 数与式的运算
1.1.1．绝对值

一、概念：绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即
绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．
两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离．
二、典型例题：
例1 解不等式：
解法一：由，得；
①若，不等式可变为，即，得，又x＜1，
∴x＜-3；
②若，不等式可变为，
即 又 ∴
综上所述，原不等式的解为或。
1

A
x
-3

C
x
P
|x－1|
图1．1－1
D
5
解法二：如图1．1－1，表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|，即|PA|＝|x－1|；
所以的几何意义即为
|PA|＞4．
可知点P 在点C(坐标为-3)的左侧、或点P在点D(坐标5)的右侧．
∴ 或。
练 习A
1．填空：
（1）若，则x=_________；若，则x=_________.
（2）如果，且，则b＝________；若，则c＝________.
2．选择题：
下列叙述正确的是 （ ）
（A）若，则 （B）若，则
（C）若，则 （D）若，则
练习B
3．解不等式：

4、化简：|x－5|－|2x－13|（x＞5）．

1.1.2. 乘法公式
一、复习：我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
（1）平方差公式 ；
（2）完全平方公式 ．
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式 ；
必须记住
（2）立方差公式 ；
（3）三数和平方公式 ；
（4）两数和立方公式 ；
（5）两数差立方公式 ．
对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．
二、典型例题
例1 计算：．
解法一：原式=
=
=．
解法二：原式=
=
=．
例2 已知，，求的值．
解： ．
练 习A
1．填空：
（1）（ ）；
（2） ；
(3 )　 ．
2．选择题：
（1）若是一个完全平方式，则等于 （ ）
（A） （B） （C） （D）
（2）不论，为何实数，的值 （ ）
（A）总是正数 （B）总是负数
（C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数

1.1.3．二次根式
一、概念：一般地，形如的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 ，等是无理式，而，，等是有理式．
1．分母（子）有理化
把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与，与，与，等等． 一般地，与，与，与互为有理化因式．
分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分子的有理化因式，化去分子中的根号的过程
在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．
2． 二次根式的意义
二、典型例题
例1 将下列式子化为最简二次根式：
（1）； （2）； （3）．
解： （1）； （2）；
（3）．
例2　计算：．
解法一： ＝
　　　　　　　　 ＝
＝ ＝＝．
解法二： ＝
　　 ＝
　　 ＝
　　 ＝
　 　＝．

例3 试比较下列各组数的大小：
（1）和； （2）和.
解： （1）∵，
，
又，
∴＜．
（2）∵
又 4＞2，
∴＋4＞＋2，
∴＜.

例4　化简：．
解：
　 ＝
　 ＝
　 ＝
　 ＝．

例 5 化简：（1）； （2）．
解：（1）原式=

．
（2）原式=，
∵，∴， 所以，原式＝．
练 习A
1．填空：
（1）＝__ ___；
（2）若，则的取值范围是_ _ ___；
（3）__ ___；
（4）若，则______ __．
（提示先简化后代入）
2．选择题：
等式成立的条件是 （　　 ）
（A）　 （B）　　 （C）　　 （D）
练习B
3．若，求的值．

4．比较大小：2－ －（填“＞”，或“＜”）．

1.1.4．分式
一、概念：1．分式的意义
形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式．当M≠0时，分式具有下列性质：； ．
上述性质被称为分式的基本性质．
　2．繁分式
像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．
二、典型例题：
例1　若，求常数的值．
解： ∵，
　　 ∴ 解得 ．
例2　（1）试证：（其中n是正整数）；
（2）计算：；
（3）证明：对任意大于1的正整数n， 有．
（1）证明：∵，
∴（其中n是正整数）成立．
（2）解：由（1）可知

＝．
（3）证明：∵
＝
＝，
又n≥2，且n是正整数，
∴一定为正数，
∴＜．
例3　设，且e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求e的值．
解：在2c2－5ac＋2a2＝0两边同除以a2，得
2e2－5e＋2＝0，
∴(2e－1)(e－2)＝0，
∴e＝＜1，舍去；或e＝2． ∴e＝2．
练习A
1．填空题：
对任意的正整数n， ()；
2．选择题：
若，则＝　　 （　 　）
　　（A）１ （B）　 （C）　 （D）
3．正数满足，求的值．

4．计算．

习题1．1
A 组
1．解不等式：

２．已知，求的值．

3．填空：
（1）＝________；
（2）若，则的取值范围是________；
（3）________．
4．填空：，，则____ ____；
5．已知：，求的值．

B 组
1．选择题：
（1）若，则 （　 　）
　 （A） （B）　 （C）　 （D）
（2）计算等于 （　 　）
（A）　 （B）　 （C）　 （D）
2．计算：．

1．2 分解因式
一、复习引申：因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．
1．十字相乘法
例1 分解因式：
（1）x2－3x＋2； （2）x2＋4x－12；
（3）； （4）．
解：（1）如图1．2－1，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x2－3x＋2中的一次项，所以，有x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．
－1
－2
x
x
图1．2－1
－1
－2
1
1
图1．2－2
－2
6
1
1
图1．2－3
－ay
－by
x
x
图1．2－4
－1
1
x
y
图1．2－5

说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x用1来表示（如图1．2－2所示）．
（2）由图1．2－3，得x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)．
（3）由图1．2－4，得 ＝
（4）＝xy＋(x－y)－1＝(x－1) (y+1) （如图1．2－5所示）．
2．提取公因式法与分组分解法
例2 分解因式：
（1）； （2）．
解： （1）==
=．
或＝＝＝
＝
＝． 二次项 一次项 常数项
（2）=
x+y
2x-y
2
-3
=
=．

3．关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．
若关于x的方程的两个实数根是、，则二次三项式就可分解为.
例3　把下列关于x的二次多项式分解因式：
（1）； （2）．
解： （1）令=0，则解得，，
∴=
=．
（2）令=0，则解得，，
∴=．
二、练习A
1．选择题：
多项式的一个因式为 （ ）
（A） （B） （C） （D）
2．分解因式：
（1）x2＋6x＋8； （2）8a3－b3；

（3）x2－2x－1； （4）．

练习B组
1．分解因式：
　（1） ； （2）；

（3）； 　

2．在实数范围内因式分解：
（1） ； （2）；

（3）；

3．分解因式：x2＋x－(a2－a)．

2.1 一元二次方程
2.1.1根的判别式

一、概念：我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以将其变形为
． ①
因为a≠0，所以，4a2＞0．于是
（1）当b2－4ac＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根 x1，2＝；
（2）当b2－4ac＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个相等的实数根
x1＝x2＝－；
（3）当b2－4ac＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．
由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由b2－4ac来判定，我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．
综上所述，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有
（1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根 x1，2＝；
（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝－；
（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．
二、典型例题：
例1 判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．
（1）x2－3x＋3＝0； （2）x2－ax－1＝0；
（3） x2－ax＋(a－1)＝0； （4）x2－2x＋a＝0．
解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根．
（2）该方程的根的判别式Δ＝a2－4×1×(－1)＝a2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根， ．
（3）由于该方程的根的判别式为Δ＝a2－4×1×(a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2，
所以，
①当a＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝1；
②当a≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根x1＝1，x2＝a－1．
（4）由于该方程的根的判别式为 Δ＝22－4×1×a＝4－4a＝4(1－a)，
所以①当Δ＞0，即4(1－a) ＞0，即a＜1时，方程有两个不相等的实数根
， ；

②当Δ＝0，即a＝1时，方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝1；
③当Δ＜0，即a＞1时，方程没有实数根．
说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．
2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）

一、概念：1、若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根
，， 则有
；
．
所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝，x1·x2＝．这一关系也被称为韦达定理．
2、特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知 x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，
即 p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，
所以，方程x2＋px＋q＝0可化为 x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0的两根，因此有
以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．
二、典型例题：
例2 已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值．
分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值．
解法一：∵2是方程的一个根，
∴5×22＋k×2－6＝0，
∴k＝－7．
所以，方程就为5x2－7x－6＝0，解得x1＝2，x2＝－．
所以，方程的另一个根为－，k的值为－7．
解法二：设方程的另一个根为x1，则 2x1＝－，∴x1＝－．
由 （－）＋2＝－，得 k＝－7．
所以，方程的另一个根为－，k的值为－7．
例3 已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值．
分析： 本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．
解：设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得 x1＋x2＝－2(m－2)，x1·x2＝m2＋4．
∵x12＋x22－x1·x2＝21， ∴(x1＋x2)2－3 x1·x2＝21，
即 [－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21，
化简，得 m2－16m－17＝0，
解得 m＝－1，或m＝17．
当m＝－1时，方程为x2＋6x＋5＝0，Δ＞0，满足题意；
当m＝17时，方程为x2＋30x＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去．
综上，m＝-1．
说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值，取满足条件的m的值即可．
（★）在今后的解题过程中，如果用由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于等于零．因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根．

例4 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．
分析：我们可以设出这两个数分别为x，y，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解．
解法一：设这两个数分别是x，y，
则 x＋y＝4， ①
xy＝－12． ②
由①，得 y＝4－x，
代入②，得x(4－x)＝－12，
即 x2－4x－12＝0，
∴x1＝－2，x2＝6．
∴ 或
因此，这两个数是－2和6．
解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程 x2－4x－12＝0 的两个根．
解这个方程，得 x1＝－2，x2＝6． 所以，这两个数是－2和6．
说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷．
例5 若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根．
（1）求| x1－x2|的值； （2）求的值； （3）x13＋x23．
解：∵x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根， ∴，．
（1）∵| x1－x2|2＝x12+ x22－2 x1x2＝(x1＋x2)2－4 x1x2＝
＝＋6＝， ∴| x1－x2|＝．
（2）．
（3）x13＋x23＝(x1＋x2)( x12－x1x2＋x22)＝(x1＋x2)[ ( x1＋x2) 2－3x1x2]
＝(－)×[(－)2－3×()]＝－．
注意：
说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：
设x1和x2分别是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），则
，，
∴| x1－x2|＝
．
于是有下面的结论：
若x1和x2分别是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），则| x1－x2|＝（其中Δ＝b2－4ac）．
今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．
例6 若关于x的一元二次方程x2－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围．
解：设x1，x2是方程的两根，则 x1x2＝a－4＜0， ①
且Δ＝(－1)2－4(a－4)＞0． ②
由①得 a＜4，
由②得 a＜．
∴a的取值范围是a＜4．

练习A
1．选择题：
（1）方程的根的情况是 （ ）
（A）有一个实数根 （B）有两个不相等的实数根
（C）有两个相等的实数根 （D）没有实数根
（2）若关于x的方程mx2＋ (2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 （ ）
（A）m＜ （B）m＞－ （C）m＜，且m≠0 （D）m＞－，且m≠0
（3）已知关于x的方程x2＋kx－2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（ ）
（A）－3 （B）3 （C）－2 （D）2
（4）下列四个说法：
①方程x2＋2x－7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；
②方程x2－2x＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；
③方程3 x2－7＝0的两根之和为0，两根之积为；
④方程3 x2＋2x＝0的两根之和为－2，两根之积为0．
其中正确说法的个数是 （ ）
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
（5）关于x的一元二次方程ax2－5x＋a2＋a＝0的一个根是0，则a的值是（ ）
（A）0 （B）1 （C）－1 （D）0，或－1
2．填空:
（1）若方程x2－3x－1＝0的两根分别是x1和x2，则＝ ．
（2）方程mx2＋x－2m＝0（m≠0）的根的情况是 ．
（3）以－3和1为根的一元二次方程是 ．
（4）方程kx2＋4x－1＝0的两根之和为－2，则k＝ ．
（5）方程2x2－x－4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝ ．
（6）已知关于x的方程x2－ax－3a＝0的一个根是－2，则它的另一个根是 ．
（7）方程2x2＋2x－1＝0的两根为x1和x2，则| x1－x2|＝ ．
3．已知，当k取何值时，方程kx2＋ax＋b＝0有两个不相等的实数根？

4．已知方程x2－3x－1＝0的两根为x1和x2，求(x1－3)( x2－3)的值．

5．试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m2x2－(2m＋1) x＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？

6．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x2－7x－1＝0各根的相反数．

练习B组
1．选择题:
若关于x的方程x2＋(k2－1) x＋k＋1＝0的两实根互为相反数，则k的值为 （ ）
（A）1，或－1 （B）1 （C）－1 （D）0
2．填空:
（1）若m，n是方程x2＋2005x－1＝0的两个实数根，则m2n＋mn2－mn的值等于 ．
（2）如果a，b是方程x2＋x－1＝0的两个实数根，那么代数式a3＋a2b＋ab2＋b3的值是 ．
3．已知关于x的方程x2－kx－2＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两根为x1和x2，如果2(x1＋x2)＞x1x2，求实数k的取值范围．

4．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为x1和x2．求：
（1）| x1－x2|和；（2）x13＋x23．

5．关于x的方程x2＋4x＋m＝0的两根为x1，x2满足| x1－x2|＝2，求实数m的值．

2．2 二次函数
2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质

一、复习引申：问题1 函数y＝ax2与y＝x2的图象之间存在怎样的关系？
为了研究这一问题，我们可以先画出y＝2x2，y＝x2，y＝－2x2的图象，通过这些函数图象与函数y＝x2的图象之间的关系，推导出函数y＝ax2与y＝x2的图象之间所存在的关系．
先画出函数y＝x2，y＝2x2的图象．
先列表：
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
x2
…
9
4
1
0
1
4
9
…
2x2
…
18
8
2
0
2
8
18

y＝x2
y＝2x2
图2.2-1
x
O
y
从表中不难看出，要得到2x2的值，只要把相应的x2的值扩大两倍就可以了．
再描点、连线，就分别得到了函数y＝x2，y＝2x2的图象（如图2－1所示），从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y＝2x2的图象可以由函数y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．
同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y＝x2，y＝－2x2的图象，并研究这两个函数图象与函数y＝x2的图象之间的关系．

通过上面的研究，我们可以得到以下结论：
图2.2-2
x
y
O
－1
y＝2x2
y＝2(x＋1)2
y＝2(x＋1)2＋1
1、二次函数y＝ax2(a≠0)的图象可以由y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到．在二次函数y＝ax2(a≠0)中，二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小．
问题2 函数y＝a(x＋h)2＋k与y＝ax2的图象之间存在怎样的关系？
同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y＝2(x＋1)2＋1与y＝2x2的图象（如图2－2所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y＝2x2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y＝2(x＋1)2＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点．
类似地，还可以通过画函数y＝－3x2，y＝－3(x－1)2＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系．
通过上面的研究，我们可以得到以下结论：

2、二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”．
由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的方法：
由于y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋)＋c＝a(x2＋＋)＋c－
，
所以，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象可以看作是将函数y＝ax2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)具有下列性质：
3、（1）当a＞0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向上；顶点坐标为，对称轴为直线x＝－；当x＜时，y随着x的增大而减小；当x＞时，y随着x的增大而增大；当x＝时，函数取最小值y＝．
（2）当a＜0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向下；顶点坐标为，对称轴为直线x＝－；当x＜时，y随着x的增大而增大；当x＞时，y随着x的增大而减小；当x＝时，函数取最大值y＝．
x
y
O
x＝－
A
图2.2-3
x
y
O
x＝－
A
图2.2-4
上述二次函数的性质可以分别通过图2．2－3和图2．2－4直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．

二、典型例题：
例1 求二次函数y＝－3x2－6x＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．
解：∵y＝－3x2－6x＋1＝－3(x＋1)2＋4，
∴函数图象的开口向下；
对称轴是直线x＝－1；
x
O
y
x＝－1
A(－1,4)
D(0,1)
B
C
图2.2－5
顶点坐标为(－1，4)；
当x＝－1时，函数y取最大值y＝4；
当x＜－1时，y随着x的增大而增大；当x＞－1时，y随着x的增大而减小；
采用描点法画图，选顶点A(－1，4))，与x轴交于点B和C，与y轴的交点为D(0，1)，过这四点画出图象（如图2－5所示）．
说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确．

例2 某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表所示：
x /元
130
150
165
y/件
70
50
35
若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？
分析：由于每天的利润＝日销售量y×(销售价x－120)，日销售量y又是销售价x的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值．
解：由于y是x的一次函数，于是，设y＝kx+b
将x＝130，y＝70；x＝150，y＝50代入方程，有
解得 k＝－1，b＝200．∴ y＝－x＋200．
设每天的利润为z（元），则
z＝(－x+200)(x－120)＝－x2＋320x－24000
＝－(x－160)2＋1600， ∴当x＝160时，z取最大值1600．
答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元．
例3 把二次函数y＝x2＋bx＋c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y＝x2的图像，求b，c的值．
解法一：