2019_2020学年新教材高中数学第六章平面向量初步6.1.4数乘向量6.1.5向量的线性运算课后篇巩固提升新人教B版必修第二册.docx

6.1.4　数乘向量　6.1.5向量的线性运算
课后篇巩固提升
夯实基础
1.在△ABC中,M是BC的中点.若AB=a,BC=b,则AM=(　　)
A.12(a+b) B.12(a-b)
C.12a+b D.a+12b
答案D
解析在△ABC中,M是BC的中点,又AB=a,BC=b,
所以AM=AB+BM=AB+12BC=a+12b,故选D.
2.已知AB=a+5b,BC=-2a+8b,CD=3(a-b),则(　　)
A.A,B,D三点共线 B.A,B,C三点共线
C.B,C,D三点共线 D.A,C,D三点共线
答案A
解析BD=BC+CD=-2a+8b+3(a-b)=a+5b=AB,所以A,B,D三点共线.
3.下面四种说法:
①对于实数m和向量a,b,恒有m(a-b)=ma-mb;
②对于实数m,n和向量a,恒有(m-n)a=ma-na;
③对于实数m和向量a,b,若ma=mb,则a=b;
④对于实数m,n和向量a,若ma=na,则m=n.
其中正确说法的个数是(　　)
A.4 B.3 C.2 D.1
答案C
解析由数乘向量运算律,得①②均正确.对于③,若m=0,由ma=mb,未必一定有a=b.对于④,若a=0,由ma=na,未必一定有m=n.
4.在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则EB=(　　)
A.34AB-14AC B.14AB-34AC
C.34AB+14AC D.14AB+34AC
答案A

解析如图,EB=-BE
=-12(BA+BD)
=12AB-14BC
=12AB-14(AC-AB)=34AB-14AC.
5.已知△ABC中,向量AP=λ(AB+AC)(λ∈R),则点P的轨迹通过△ABC的(　　)
A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心
答案D
解析设D为BC中点,则AB+AC=2AD,
∴AP=2λAD,即P点在中线AD上,
可知P点轨迹必过△ABC的重心,
故选D.
6.(多选)设a,b都是非零向量.下列四个条件中,使a|a|=b|b|成立的条件是(　　)
A.2a=b B.a∥b
C.a=2b D.a∥b且|a|=|b|
答案AC
解析a|a|,b|b|分别表示a,b的单位向量.
对于A,当2a=b时,2a|2a|=a|a|=b|b|;
对于B,当a∥b时,可能有a=-b,此时a|a|≠b|b|;
对于C,当a=2b时,a|a|=2b|2b|=b|b|;
对于D,当a∥b且|a|=|b|时,可能有a=-b,此时a|a|≠b|b|.
综上所述,使a|a|=b|b|成立的条件是a=2b,2a=b.选AC.
7.化简3(2a-3b)-2(2b-3a)=　　　　　. 
答案12a-13b
解析由题意,可得3(2a-3b)-2(2b-3a)=6a-9b-4b+6a=12a-13b.
8.已知点P在直线AB上,且|AB|=4|AP|,设AP=λPB,则实数λ=　　　　　. 
答案13
解析因为|AB|=4|AP|,所以P是四等分点,
因此AP=13PB,故填13.
9.

如图,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,AE=23AD,AB=a,AC=b.
(1)用a,b分别表示向量AE,BF;
(2)求证:B,E,F三点共线.
解(1)∵AD=12(AB+AC)=12(a+b),
∴AE=23AD=13(a+b),
∵AF=12AC=12b,∴BF=AF-AB=-a+12b.
(2)由(1)知BF=-a+12b,
BE=-23a+13b=23-a+12b,
∴BE=23BF.∴BE与BF共线.
又BE,BF有公共点B,∴B,E,F三点共线.
能力提升
1.

(多选)正五角星是一个非常优美的几何图形,且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中,以A,B,C,D,E为顶点的多边形为正五边形,且PTAT=5-12.下列关系中不正确的是(　　)
A.BP-TS=5+12RS B.CQ+TP=5+12TS
C.ES-AP=5-12BQ D.AT+BQ=5-12CR
答案BCD
解析在如图所示的正五角星中,以A,B,C,D,E为顶点的多边形为正五边形,且PTAT=5-12.
在A中,BP-TS=TE-TS=SE=5+12RS,故A正确;在B中,CQ+TP=PA+TP=TA=5+12ST,故B错误;在C中,ES-AP=RC-QC=5-12QB,故C错误;在D中,AT+BQ=SD+RD,5-12CR=RS=RD-SD,若AT+BQ=5-12CR,则SD=0,不合题意,故D错误.故选BCD.
2.生于瑞士的数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理:“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上.”这就是著名的欧拉线定理,在△ABC中,O,H,G分别是外心、垂心和重心,D为BC边的中点,下列四个结论:(1)GH=2OG;2)GA+GB+GC=0;(3)AH=2OD;(4)S△ABG=S△BCG=S△ACG.正确的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案D
解析△ABC中,O,H,G分别是外心、垂心和重心,画出图形,如图所示;

对于(1),根据欧拉线定理得HG=2OG,选项(1)正确;
对于(2),根据三角形的重心性质得GA+GB+GC=0,选项(2)正确;
对于(3),∵AH∥OD,∴△AHG∽△DOG,
∴AHOD=AGDG=2,∴AH=2OD,选项(3)正确;
对于(4),过点G作GE⊥BC,垂足为E,则GEAN=DGDA=13,∴△BGC的面积为S△BGC=12×BC×GE=12×BC×13×AN=13S△ABC;同理,S△AGC=S△AGB=13S△ABC,选项(4)正确.故选D.
3.在正方形ABCD中,E为线段AD的中点,若EC=λAD+μAB,则λ+μ=　　　　　,若E在线段AD上,异于A,D两点,则λ+μ的取值范围为　　　　　. 

答案32　(1,2)
解析(1)因为EC=ED+DC
=12AD+AB,
所以λ+μ=12+1=32.
(2)EC=ED+DC=λAD+AB,λ∈(0,1),所以λ+μ∈(1,2).
4.已知点M是△ABC所在平面内的一点,若满足6AM-AB-2AC=0,且S△ABC=λS△ABM,则实数λ的值是　　　　　. 
答案3
解析记2AM=AN.∵AN-AB+2AN-2AC=0,
∴BN=2NC,S△ABC=32S△ABN.
又∵S△ABM=12S△ABN,∴S△ABC=3S△ABM,从而有λ=3.

5.如图,在△ABC中,AB=a,BC=b,AD为边BC的中线,G为△ABC的重心,求向量AG.
解∵AB=a,BC=b,
则BD=12BC=12b,
∴AD=AB+BD=a+12b而AG=23AD,
∴AG=23a+13b.
6.如图,F为线段BC的中点,CE=2EF,DF=35AF,设AC=a,AB=b,试用a,b表示AE,AD,BD.

解因为CB=b-a,CE=23CF=13CB=13(b-a),
所以AE=AC+CE=23a+13b.
因为AF=12(a+b),所以AD=85AF=45(a+b),
所以BD=AD-AB=45(a+b)-b=45a-15b.

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