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6.3.1 平面向量基本定理
[A 基础达标]
1．若e1，e2是平面α内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是( )
①λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；
②对于平面α中的任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数λ，μ有无数多对；
③若λ1，μ1，λ2，μ2均为实数，且向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；
④若存在实数λ，μ使λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.
A．①② B．②③
C．③④ D．②
解析：选B.由平面向量基本定理，可知①④说法正确，②说法不正确．对于③，当λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个．故选B.
2．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若＝e1，＝e2，则＝( )
A.(e1＋e2) B.(e1－e2)
C.(2e2－e1) D.(e2－e1)
解析：选A.因为O是矩形ABCD对角线的交点，＝e1，＝e2，所以＝(＋)＝(e1＋e2)，故选A.
3．已知{e1，e2}为基底，向量＝e1－ke2，＝2e1－e2，＝3e1－3e2，若A，B，D三点共线，则k的值是( )
A．2 B．－3
C．－2 D．3
解析：选A.＝－＝－e1＋2e2＝－(e1－2e2)．又A，B，D三点共线，则和是共线向量，所以k＝2.
4．已知△ABC的边BC上有一点D，满足＝3 ，则可表示为( )
A.＝＋ B.＝＋
C.＝－2＋3 D.＝＋
解析：选B.由＝3 ，得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.
5．若D点在三角形ABC的边BC上，且＝4＝r＋s，则3r＋s的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.因为＝4＝r＋s，
所以＝＝(－)＝r＋s，
所以r＝，s＝－.
所以3r＋s＝－＝.
6．已知{a，b}是一个基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y的值为________．
解析：因为{a，b}是一个基底，所以a与b不共线，
因为(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，
所以解得所以x－y＝3.
答案：3
7．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，若＝a，＝b，用a，b表示向量，则＝________．
解析：＝－，＝－，因为2＋＝0，所以2(－)＋(－)＝0，所以＝2－＝2a－b.
答案：2a－b
8.如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝______．
解析：因为＝＋＝＋＝＋＋，所以＝＋，所以λ＝，μ＝，λ＋μ＝.
答案：
9．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：{a，b}可以作为一个基底；
(2)以{a，b}为基底表示向量c＝3e1－e2.
解：(1)证明：假设a＝λb(λ∈R)，
则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．
由e1，e2不共线，得
所以λ不存在．
故a与b不共线，可以作为一个基底．
(2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，
则3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.
所以解得
所以c＝2a＋b.
10.如图所示，设M，N，P是△ABC三边上的点，且＝，＝，＝，若＝a，＝b，试用a，b将，，表示出来．
解：＝－＝－＝a－b，
＝－＝－－＝－b－(a－b)＝－a＋b，
＝－＝－(＋)＝(a＋b)．
[B 能力提升]
11．若{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，且a＝3e1－4e2，b＝6e1＋ke2不能构成一个基底，则k的值为______．
解析：当a∥b时，a，b不能构成一个基底，故存在λ，使得a＝λb，即3e1－4e2＝λ(6e1＋ke2)，
所以6λ＝3，且kλ＝－4.解得λ＝，k＝－8.
答案：－8
12．已知平行四边形ABCD中，E为CD的中点，＝y，＝x，其中x，y∈R，且均不为0.若∥，则＝________．
解析：因为＝－＝x－y，由∥，可设＝λ，即x－y＝λ(－)＝ λ＝－＋λ，
所以则＝.
答案：
13.如图所示，在△OAB中，＝a，＝b，M，N分别是边OA，OB上的点，且＝a，＝b，设与交于点P，用向量a，b表示，则＝______．
解析：因为＝＋，＝＋，
设＝m，＝n，
则＝＋m＝a＋m(b－a)
＝(1－m)a＋mb，
＝＋n＝(1－n)b＋na.
因为a与b不共线，所以⇒n＝.
所以＝a＋b.
答案：a＋b
14.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于O点，线段OD上有点M满足＝3，线段CO上有点N满足＝λ(λ>0)，设＝a，＝b，已知＝μa－b，试求实数λ，μ的值．
解：依题意得＝b－a，＝a＋b，
且＝＝(a－b)＝a－b，
＝＋＝＝(a＋b)，
所以＝＋＝b＋＝a＋b，
＝＋＝a＋b＋＝a＋b，
即＝(a＋b)＝a＋b，
由平面向量基本定理，得
解得
[C 拓展探究]
15．如图所示，在▱ABCD中，＝a，＝b，BM＝BC，AN＝AB.
(1)试用向量a，b来表示，；
(2)AM交DN于O点，求AO∶OM的值．
解：(1)因为AN＝AB，所以＝＝a，所以＝－＝a－b.因为BM＝BC，所以＝＝＝b，所以＝＋＝a＋b.
(2)因为A，O，M三点共线，所以∥，设＝λ，则＝－＝λ －＝λ－b＝λa＋b.因为D，O，N三点共线，所以∥，存在实数μ使＝μ，则λa＋b＝μ.由于向量a，b不共线，则解得所以＝，＝，所以AO∶OM＝3∶11.
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