2019_2020学年新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4.4幂函数课后篇巩固提升新人教B版必修第二册.docx

4.4　幂函数
课后篇巩固提升
夯实基础
1.(多选)有下列函数:
①y=x;②y=1x2;③y=x4+x-2;④y=3x2.
其中是幂函数的是(　　)
A.① B.② C.③ D.④
答案AB
2.设α∈-1,1,12,3,则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为(　　)
A.1,3 B.-1,1
C.-1,3 D.-1,1,3
答案A
解析y=x-1=1x的定义域不是R,y=x12的定义域不是R,y=x与y=x3的定义域是R,且它们都是奇函数,故选A.
3.已知a=35-13,b=35-12,c=43-12,则a,b,c三个数的大小关系是(　　)
A.c<a<b B.c<b<a
C.a<b<c D.b<a<c
答案A
解析因为指数函数f(x)=35x在其定义域上是减函数,又-13>-12,所以a<b.因为幂函数g(x)=x12在其定义域上是增函数,所以c=43-12=3412<1.又因为a=35-13=5313>1,所以a>c.因此c<a<b.
4.当x∈(0,+∞)时,幂函数y=(m2-m-1)x-5m-3为减函数,则实数m的值为(　　)
A.m=2 B.m=-1
C.m=-1或m=2 D.m≠1±52
答案A
解析由题意可得,-5m-3<0,m2-m-1=1,解得m=2.
5.设函数y=x3与y=12x-2的图像的交点为(x0,y0),则x0所在的区间为(　　)
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
答案B
解析在同一平面直角坐标系内分别作出两个函数的图像如图所示,由图像得1<x0<2.

6.已知幂函数y=f(x)的图像过点(2,2),则这个函数的解析式为　　　　. 
答案y=x12
解析设f(x)=xα(α∈R),将点(2,2)代入,得2=2α,
所以α=12.所以f(x)=x12.
7.函数y=(3x-2)12+(2-3x)-13的定义域为　　　　　. 
答案23,+∞
解析依题意得3x-2≥0,2-3x≠0,解得x≥23,x≠23,
即x>23.
8.设函数f1(x)=x12,f2(x)=x-1,f3(x)=x2,则f1(f2(f3(2 020)))=　　　　. 
答案12020
解析f1{f2[f3(2020)]}=f1[f2(20202)]=f1120202=12020.
9.设幂函数y=xa2-3a在(0,+∞)内是减函数,指数函数y=(a2-1)x在(-∞,+∞)内是增函数,对数函数y=log(a2-2a+1)x在(0,+∞)内是减函数,求a的取值范围.
解∵幂函数y=xa2-3a在(0,+∞)内是减函数,
∴a2-3a<0.①
又∵y=(a2-1)x在(-∞,+∞)内是增函数,
∴a2-1>1,即a2>2.②
又∵y=log(a2-2a+1)x在(0,+∞)内是减函数,
∴0<a2-2a+1<1,③
解①②③,得2<a<2.即a的取值范围为(2,2).
能力提升
1.下面六个幂函数的图像如图所示,试建立函数与图像之间的对应关系:
(1)y=x32;(2)y=x13;(3)y=x23;
(4)y=x-2;(5)y=x-3;(6)y=x-12.

解六个幂函数的定义域、奇偶性、单调性如下:
(1)y=x32=x3的定义域为[0,+∞),既不是奇函数也不是偶函数,在[0,+∞)内是增函数;
(2)y=x13=3x的定义域为R,是奇函数,在[0,+∞)内是增函数;
(3)y=x23=3x2的定义域为R,是偶函数,在[0,+∞)内是增函数;
(4)y=x-2=1x2的定义域为{x|x≠0},是偶函数,在(0,+∞)内是减函数;
(5)y=x-3=1x3的定义域为{x|x≠0},是奇函数,在(0,+∞)内是减函数;
(6)y=x-12=1x的定义域为{x|x>0},既不是奇函数也不是偶函数,在(0,+∞)内是减函数.
通过上面分析,可以得出(1)↔A,(2)↔F,(3)↔E,(4)↔C,(5)↔D,(6)↔B.
2.设幂函数f(x)=(a-1)·xk(a∈R,k∈Q)的图像经过点(2,2).
(1)求a,k的值;
(2)若函数h(x)=-f(x)+2bf(x)+1-b在[0,1]上的最大值为2,求实数b的值.
解(1)由题知a-1=1,(2)k=2,∴a=2,k=2.
(2)f(x)=x2,h(x)=-x2+2bx+1-b=-(x-b)2+b2-b+1,x∈[0,1],
①b≥1时,hmax=h(1)=b=2;
②0<b<1时,hmax=h(b)=b2-b+1=2,
∴b=1±52(舍).
③b≤0时,hmax(x)=h(0)=1-b=2,∴b=-1.
综上,b=2或b=-1.

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