2019_2020学年新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4.3指数函数与对数函数的关系课后篇巩固提升新人教B版必修第二册.docx

4.3　指数函数与对数函数的关系
课后篇巩固提升
夯实基础
1.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,a≠1)的反函数,且f(2)=1,则f(x)等于(　　)
A.log2x B.12x C.log12x D.2x-2
答案A
解析函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数f(x)=logax,又f(2)=1,即loga2=1,所以a=2,故f(x)=log2x.
2.(多选)函数y=1+ax(a>0且a≠1)的反函数的图像可能是(　　)

答案AC
解析先画出y=1+ax的图像,由反函数的图像与原函数的图像关于直线y=x对称可画出反函数的图像.
3.设f(x)=2x+3x-1的图像与g(x)的图像关于直线y=x对称,则g(x+2)等于(　　)
A.1+5x B.1+5x-2
C.1-5x+3 D.1-5x+5
答案A
解析∵f(x)的图像与g(x)的图像关于直线y=x对称,∴g(x)是函数f(x)的反函数.
又∵f(x)=2x+3x-1,∴g(x)=x+3x-2.用x+2替换g(x)中的x,可求出g(x+2)=(x+2)+3(x+2)-2=1+5x.故选A.
4.设a,b,c均为正数,且2a=log12a,12b=log12b,12c=log2c,则(　　)
A.a<b<c B.c<b<a
C.c<a<b D.b<a<c
答案A
解析方法一:由函数y=2x,y=12x,y=log2x,y=log12x的图像(如图)知,0<a<b<1<c,故选A.

方法二:∵a>0,∴2a>1.∴log12a>1.∴0<a<12.
又∵b>0,∴0<12b<1.
∴0<log12b<1.∴12<b<1.
又∵c>0,∴0<12c<1.
∴0<log2c<1.∴1<c<2.
∴0<a<12<b<1<c.
5.已知a>0,且a≠1,f(x)=ax,g(x)=logax,若f(1)·g(2)<0,则f(x)与g(x)在同一平面直角坐标系内的图像可能是(　　)

答案C
解析由f(1)·g(2)<0,f(1)=a1>0,得g(2)<0,即loga2<0,∴0<a<1.∴f(x)是减函数,且g(x)是减函数.故选C.
6.已知函数y=ax+b的图像过点(1,4),其反函数的图像过点(2,0),则a=　　　　　,b=　　　　　. 
答案3　1
解析由函数y=ax+b的图像过点(1,4),得a+b=4;由反函数的图像过点(2,0),得原函数图像必过点(0,2),得a0+b=2,因此a=3,b=1.
7.函数y=x+1,x<0,ex,x≥0的反函数是　　　　　. 
答案y=x-1,x<1,lnx,x≥1
解析当x<0时,y=x+1的反函数是y=x-1,x<1;
当x≥0时,y=ex的反函数是y=lnx,x≥1.
故原函数的反函数为y=x-1,x<1,lnx,x≥1.
8.已知函数f(x)与函数g(x)=log12x的图像关于直线y=x对称,则函数f(x2+2x)的单调增区间是　　　　　. 
答案(-∞,-1]
解析由题意得f(x)=12x,f(x2+2x)=12x2+2x,∵f(x)在R上是减函数,∴由复合函数同增异减的原则知,所求函数的单调增区间即为t=x2+2x的单调减区间,即(-∞,-1].
能力提升
1.求出下列函数的反函数.
(1)y=log16x;　(2)y=1ex;　(3)y=πx;
(4)y=x2,-1≤x<0,x2-1,0≤x≤1.
解(1)对数函数y=log16x的底数为16,所以它的反函数是指数函数y=16x.
(2)指数函数y=1ex的反函数是对数函数y=log1ex.
(3)指数函数y=πx的反函数为对数函数y=logπx.
(4)①当x∈[-1,0)时,y∈(0,1],此时x=-y,得原函数的反函数是y=-x,x∈(0,1];
②当x∈[0,1]时,y=x2-1,y∈[-1,0],x=y+1,得原函数的反函数是y=x+1,x∈[-1,0].
∴函数y=x2,-1≤x<0,x2-1,0≤x≤1的反函数为
y=-x,x∈(0,1],x+1,x∈[-1,0].
2.已知f(x)=loga(ax-1)(a>0,且a≠1).
解方程f(2x)=f-1(x).
解令y=loga(ax-1),则ay=ax-1,
∴x=loga(ay+1).
∴f-1(x)=loga(ax+1).
由f(2x)=f-1(x),得loga(a2x-1)=loga(ax+1),
∴a2x-1=ax+1,
解得ax=2或ax=-1(舍去),
∴x=loga2.

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