1、4.3指数函数与对数函数的关系课后篇巩固提升夯实基础1.若函数y=f(x)是函数y=ax(a0,a1)的反函数,且f(2)=1,则f(x)等于()A.log2xB.12xC.log12xD.2x-2答案A解析函数y=ax(a0,且a1)的反函数f(x)=logax,又f(2)=1,即loga2=1,所以a=2,故f(x)=log2x.2.(多选)函数y=1+ax(a0且a1)的反函数的图像可能是()答案AC解析先画出y=1+ax的图像,由反函数的图像与原函数的图像关于直线y=x对称可画出反函数的图像.3.设f(x)=2x+3x-1的图像与g(x)的图像关于直线y=x对称,则g(x+2)等于()
2、A.1+5xB.1+5x-2C.1-5x+3D.1-5x+5答案A解析f(x)的图像与g(x)的图像关于直线y=x对称,g(x)是函数f(x)的反函数.又f(x)=2x+3x-1,g(x)=x+3x-2.用x+2替换g(x)中的x,可求出g(x+2)=(x+2)+3(x+2)-2=1+5x.故选A.4.设a,b,c均为正数,且2a=log12a,12b=log12b,12c=log2c,则()A.abcB.cbaC.cabD.bac答案A解析方法一:由函数y=2x,y=12x,y=log2x,y=log12x的图像(如图)知,0ab10,2a1.log12a1.0a0,012b1.0log12
3、b1.12b0,012c1.0log2c1.1c2.0a12b10,且a1,f(x)=ax,g(x)=logax,若f(1)g(2)0,则f(x)与g(x)在同一平面直角坐标系内的图像可能是()答案C解析由f(1)g(2)0,得g(2)0,即loga20,0a1.f(x)是减函数,且g(x)是减函数.故选C.6.已知函数y=ax+b的图像过点(1,4),其反函数的图像过点(2,0),则a=,b=.答案31解析由函数y=ax+b的图像过点(1,4),得a+b=4;由反函数的图像过点(2,0),得原函数图像必过点(0,2),得a0+b=2,因此a=3,b=1.7.函数y=x+1,x0,ex,x0的
4、反函数是.答案y=x-1,x1,lnx,x1解析当x0时,y=x+1的反函数是y=x-1,x1;当x0时,y=ex的反函数是y=lnx,x1.故原函数的反函数为y=x-1,x1,lnx,x1.8.已知函数f(x)与函数g(x)=log12x的图像关于直线y=x对称,则函数f(x2+2x)的单调增区间是.答案(-,-1解析由题意得f(x)=12x,f(x2+2x)=12x2+2x,f(x)在R上是减函数,由复合函数同增异减的原则知,所求函数的单调增区间即为t=x2+2x的单调减区间,即(-,-1.能力提升1.求出下列函数的反函数.(1)y=log16x;(2)y=1ex;(3)y=x;(4)y=
5、x2,-1x0,x2-1,0x1.解(1)对数函数y=log16x的底数为16,所以它的反函数是指数函数y=16x.(2)指数函数y=1ex的反函数是对数函数y=log1ex.(3)指数函数y=x的反函数为对数函数y=logx.(4)当x-1,0)时,y(0,1,此时x=-y,得原函数的反函数是y=-x,x(0,1;当x0,1时,y=x2-1,y-1,0,x=y+1,得原函数的反函数是y=x+1,x-1,0.函数y=x2,-1x0,且a1).解方程f(2x)=f-1(x).解令y=loga(ax-1),则ay=ax-1,x=loga(ay+1).f-1(x)=loga(ax+1).由f(2x)=f-1(x),得loga(a2x-1)=loga(ax+1),a2x-1=ax+1,解得ax=2或ax=-1(舍去),x=loga2.4
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