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第四章测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.函数f(x)=1log2x-1的定义域为( )
A.(0,2) B.(0,2]
C.(2,+∞) D.[2,+∞)
答案C
解析∵f(x)有意义,∴log2x-1>0,x>0.
∴x>2,∴f(x)的定义域为(2,+∞).
2.(2019北京)下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是( )
A.y=x12 B.y=2-x
C.y=log12x D.y=1x
答案A
解析函数y=2-x,y=log12x,y=1x在区间(0,+∞)上单调递减,函数y=x12在区间(0,+∞)上单调递增,故选A.
3.设f(x)=2ex-1,x<2,log3(2x-1),x≥2,则f(f(2))等于( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案C
解析∵f(2)=log3(22-1)=1,
∴f(f(2))=f(1)=2e1-1=2.
4.若函数y=ax+m-1(a>0)的图像经过第一、三、四象限,则( )
A.a>1 B.0<a<1,且m>0
C.a>1,且m<0 D.0<a<1
答案C
解析由题意可知,a>1,且m-1<-1,
所以a>1,且m<0.
5.(2019天津)已知a=log27,b=log38,c=0.30.2,则a,b,c的大小关系为( )
A.c<b<a B.a<b<c
C.b<c<a D.c<a<b
答案A
解析a=log27>log24=2.
b=log38<log39=2,且b>1.
又c=0.30.2<1,故c<b<a,故选A.
6.已知函数:①y=2x;②y=log2x;③y=x-1;④y=x12.则下列函数图像(第一象限部分)从左到右依次与函数序号的对应顺序是( )
A.②①③④ B.②③①④
C.④①③② D.④③①②
答案D
解析根据幂函数、指数函数、对数函数的图像可知选D.
7.下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的增函数是( )
A.f(x)=x3 B.f(x)=3x
C.f(x)=x12 D.f(x)=12x
答案B
解析对于函数f(x)=x3,f(x+y)=(x+y)3,
f(x)f(y)=x3·y3,而(x+y)3≠x3y3,
所以f(x)=x3不满足f(x+y)=f(x)f(y),故A错误;
对于函数f(x)=3x,f(x+y)=3x+y=3x·3y=f(x)f(y),因此f(x)=3x满足f(x+y)=f(x)f(y),且f(x)=3x是增函数,故B正确;
对于函数f(x)=x12,f(x+y)=(x+y)12,f(x)f(y)=x12y12=(xy)12,而(x+y)12≠(xy)12,所以f(x)=x12不满足f(x+y)=f(x)f(y),故C错误;
对于函数f(x)=12x,f(x+y)=12x+y=12x·12y=f(x)·f(y),
因此f(x)=12x满足f(x+y)=f(x)f(y),
但f(x)=12x不是增函数,故D错误.
8.
已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a>0,a≠1)的图像如图所示,则下列结论成立的是( )
A.a>1,c>1
B.a>1,0<c<1
C.0<a<1,c>1
D.0<a<1,0<c<1
答案D
解析由图像可知y=loga(x+c)的图像是由y=logax的图像向左平移c个单位得到的,其中0<c<1.再根据单调性易知0<a<1.
9.设函数f(x)=loga|x|(a>0,且a≠1)在(-∞,0)内单调递增,则f(a+1)与f(2)的大小关系为( )
A.f(a+1)=f(2) B.f(a+1)>f(2)
C.f(a+1)<f(2) D.不确定
答案B
解析易知f(x)为偶函数,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减.所以0<a<1.则1<a+1<2.所以f(a+1)>f(2).
10.若函数y=logax(a>0,且a≠1)的图像如图所示,则下列函数图像正确的是( )
答案B
解析由题中图像可知loga3=1,所以a=3.A选项,y=3-x=13x为指数函数,在R上单调递减,故A不正确.B选项,y=x3为幂函数,图像正确.C选项,y=(-x)3=-x3,其图像和B选项中y=x3的图像关于x轴对称,故C不正确.D选项,y=log3(-x),其图像与y=log3x的图像关于y轴对称,故D选项不正确.综上可知选B.
11.已知函数f(x)=-12x,a≤x<0,-x2+2x,0≤x≤4的值域是[-8,1],则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-3] B.[-3,0)
C.[-3,-1] D.{-3}
答案B
解析当0≤x≤4时,-8≤f(x)≤1,当a≤x<0时,-12a≤f(x)<-1,所以-12a,-1⊆[-8,1],
所以-8≤-12a<-1,解得-3≤a<0.
12.设函数f(x)=n-1,x∈[n,n+1),n∈N,函数g(x)=log2x,则方程f(x)=g(x)的实数根的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案C
解析画出f(x)和g(x)的图像,如下图所示,从图中不难看出方程f(x)=g(x)有3个零点.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)
13.若函数y=f(x)的图像恒过点(0,1),则函数y=f(x)反函数的图像一定过定点 .
答案(1,0)
解析根据互为反函数的图像关于y=x对称可知,f(x)的反函数一定过定点(1,0).
14.已知log95=m,log37=n,则用m,n表示log359= .
答案22m+n
解析∵log359=2log353=2log335=2log35+log37,且m=log95=12log35,n=log37,
∴log359=22m+n.
15.已知函数f(x)=3x,x≤1,-x,x>1,若f(x)=2,则x= .
答案log32
解析由x≤13x=2⇒x=log32,x>1-x=2⇒x=-2不符合,故应填log32.
16.对于函数f(x)定义域中任意的x1,x2(x1≠x2),有如下结论:
①f(x1+x2)=f(x1)·f(x2);
②f(x1·x2)=f(x1)+f(x2);
③f(x1)-f(x2)x1-x2>0;
④fx1+x22<f(x1)+f(x2)2.
当f(x)=lg x时,上述结论中正确结论的序号是 .
答案②③
解析因为f(x)=lgx,且x1≠x2,
所以f(x1+x2)=lg(x1+x2)≠lgx1·lgx2.
所以①不正确.
f(x1·x2)=lg(x1·x2)=lgx1+lgx2=f(x1)+f(x2).
因此②正确.
因为f(x)=lgx是增函数,
所以f(x1)-f(x2)与x1-x2同号.
所以f(x1)-f(x2)x1-x2>0.因此③正确.
因为fx1+x22>f(x1)+f(x2)2,
因此④是不正确的.综上,填②③.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)求下列各式的值:
(1)log535+2log122-log5150-log514;
(2)(lg 2)3+(lg 5)3+3lg 2·lg 5;
(3)log32log2764.
解(1)原式=log535×5014+2log12212=log553-1=2.
(2)原式=(lg2+lg5)(lg22-lg2·lg5+lg25)+3lg2·lg5=lg22+lg25+2lg2·lg5=(lg2+lg5)2=1.
(3)原式=log32·log6427=lg2lg3·lg27lg64=36=12.
18.(12分)已知-1≤x≤2,求函数f(x)=3+2·3x+1-9x的最大值和最小值.
解令t=3x,因为-1≤x≤2,
所以13≤t≤9,且f(x)=g(t)=-(t-3)2+12.
故当t=3,即x=1时,f(x)的最大值为12,
当t=9,即x=2时,f(x)的最小值是-24.
19.(12分)解不等式2loga(x-4)>loga(x-2).
解当a>1时,原不等式可化归为x-4>0,x-2>0,(x-4)2>x-2,
解得x>6;当0<a<1时,原不等式可化归为x-4>0,x-2>0,(x-4)2<x-2,解得4<x<6.
综上所述,当a>1时,原不等式的解集是{x|x>6};
当0<a<1时,原不等式的解集是{x|4<x<6}.
20.(12分)已知函数f(x)=2x-12x+1.
(1)求函数f(x)的定义域、值域;
(2)试判断函数f(x)的奇偶性.
解(1)要使f(x)有意义,只要使2x+1≠0,由于对任意的x∈R,2x≠-1,所以x∈R,即函数f(x)的定义域为R.y=f(x)=2x-12x+1=1-22x+1.
令t=2x,则t>0,所以y=1-2t+1.
所以y∈(-1,1),即f(x)的值域为(-1,1).
(2)对任意x∈R,则有-x∈R.
又因为f(-x)=2-x-12-x+1=1-2x1+2x=-f(x),
所以f(x)为奇函数.
21.(12分)已知f(x)=loga(ax-1)(a>0,且a≠1).
(1)求f(x)的定义域;
(2)讨论f(x)的单调性;
(3)当a取何值时,图像在y轴的左侧?
解(1)当a>1时,定义域为(0,+∞);
当0<a<1时,由ax-1>0可知,定义域为(-∞,0).
(2)设f(u)=logau,u=ax-1.
当a>1时,x∈(0,+∞),u=ax-1是增函数,
y=logau也是增函数.
由复合函数单调性可知:f(x)在(0,+∞)内为增函数.
同理,当0<a<1时,f(x)在(-∞,0)内为增函数.
(3)由图像在y轴的左侧可知,当x<0时,ax-1>0,
解得0<a<1.
22.(12分)为减轻手术给病人带来的痛苦,麻醉师要给病人注射一定量的麻醉剂,某医院决定在某小型手术中为病人采用一种新型的麻醉剂,已知这种麻醉剂释放过程中血液中的含量y(毫克)与时间t(小时)成正比,麻醉剂释放完毕后,y与t的函数解析式为y=18t-a(a为常数),如图所示.
(1)试求从麻醉剂释放开始,血液中的麻醉剂含量y(毫克)与时间t(小时)之间的解析式;
(2)根据麻醉师的统计,当人体内血液中每升的麻醉剂含量降低到0.125毫克以下时,病人才能清醒过来,那么实施麻醉开始,至少需要经过多长时间,病人才能清醒过来?
解(1)根据题中所述,由题图可知,血液中麻醉剂的含量y(毫克)是关于时间t(小时)的一个分段函数:
当0≤t≤0.1时,函数的图象是一条经过O(0,0)的线段,设其方程为y=kt(k为待定系数),
又因为A(0.1,1)是这条线段的一个端点,代入点A的坐标得k=10,
所以当0≤t≤0.1时,y=10t.
当t>0.1时,函数解析式为y=18t-a,
而A(0.1,1)在这段函数图象上,代入得:1=180.1-a,所以有0.1-a=0,解得a=0.1.
故当t>0.1时,y=18t-0.1.
综上,血液中麻醉剂的含量y(毫克)与时间t(小时)之间的解析式为y=10t,0≤t≤0.1,18t-0.1,t>0.1.
(2)要使手术后的病人能清醒过来,需要麻醉剂含量降低到0.125毫克以下,此时t>0.1,且y≤0.125=18.
当t>0.1时,由18t-0.1≤18,得t-0.1≥1,
解得t≥1.1.
所以至少需要经过1.1小时后病人才能清醒.
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