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2019_2020学年新教材高中数学第五课考点突破素养提升新人教A版必修2.doc

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1、第五课 考点突破素养提升素养一数学抽象角度1概率与频率【典例1】对一批U盘进行抽检,结果如下表:抽出件数a50100200300400500次品件数b345589次品频率(1)计算表中次品的频率.(2)从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是多少?(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换,要销售2 000个U盘,至少需进货多少个U盘?【解析】(1)表中次品频率从左到右依次为0.06,0.04,0.025,0.017,0.02,0.018.(2)当抽取件数a越来越大时,出现次品的频率在0.02附近摆动,所以从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是0.02.(3)设需要进货x个U盘,为保证其中有2

2、000个正品U盘,则x(1-0.02)2 000,因为x是正整数,所以x2 041,即至少需进货2 041个U盘.【类题通】频率是概率的近似值,是随机的,随着试验的不同而变化;概率是多次的试验中频率的稳定值,是一个常数,不要用一次或少数次试验中的频率来估计概率.【加练固】 某射击运动员为备战奥运会,在相同条件下进行射击训练,结果如下:射击次数n102050100200500击中靶心次数m8194492178455击中靶心的频率0.80.950.880.920.890.91(1)该射击运动员射击一次,击中靶心的概率大约是多少?(2)假如该射击运动员射击了300次,则击中靶心的次数大约是多少?(3

3、)假如该射击运动员射击了300次,前270次都击中靶心,那么后30次一定都击不中靶心吗?(4)假如该射击运动员射击了10次,前9次中有8次击中靶心,那么第10次一定击中靶心吗?【解析】(1)由题意得,击中靶心的频率与0.9接近,故概率约为0.9.(2)击中靶心的次数大约为3000.9=270.(3)由概率的意义可知概率是个常数,不因试验次数的变化而变化.后30次中,每次击中靶心的概率仍是0.9,所以不一定击不中靶心.(4)不一定.角度2互斥事件与对立事件的概率【典例2】(1)(2019全国卷)甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,

4、甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以41获胜的概率是_.(2)(2019江苏高考)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是_.【解析】(1)前五场中有一场客场输时,甲队以41获胜的概率是0.630.50.52=0.108,前五场中有一场主场输时,甲队以41获胜的概率是0.40.620.522=0.072,综上所述,甲队以41获胜的概率是P=0.108+0.072=0.18.答案:0.18(2)方法一:从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者

5、服务,共有=10种情况.若选出的2名学生恰有1名女生,有=6种情况,若选出的2名学生都是女生,有=1种情况,所以所求的概率为=.方法二:P=1-=1-=.答案:【类题通】互斥事件与对立事件概率的计算1.若事件A1,A2,An两两互斥,则P(A1A2An)=P(A1)+P(A2)+P(An).2.设事件A的对立事件是,则P(A)=1-P().【加练固】 甲、乙两人参加普法知识竞赛,共有5个不同题目,选择题3个,判断题2个,甲、乙两人各抽一题.(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题,另一个抽到判断题的概率是多少?(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少?【解析】把3个选择题记为x1,x2,x

6、3,2个判断题记为p1,p2.“甲抽到选择题,乙抽到判断题”的情况有:(x1,p1),(x1,p2),(x2,p1),(x2,p2),(x3,p1),(x3,p2),共6种;“甲抽到判断题,乙抽到选择题”的情况有:(p1,x1),(p1,x2),(p1,x3),(p2,x1),(p2,x2),(p2,x3),共6种;“甲、乙都抽到选择题”的情况有:(x1,x2),(x1,x3),(x2,x1),(x2,x3),(x3,x1),(x3,x2),共6种;“甲、乙都抽到判断题”的情况有:(p1,p2),(p2,p1),共2种.因此基本事件的总数为6+6+6+2=20.(1)“甲抽到选择题,乙抽到判断

7、题”的概率为=,“甲抽到判断题,乙抽到选择题”的概率为=,故“甲、乙两人中有一个抽到选择题,另一个抽到判断题”的概率为+=.(2)“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为=,故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为1-=.素养二数学运算角度1古典概型【典例3】某产品的三个质量指标分别为x,y,z,用综合指标S=x+y+z评价该产品的等级.若S4,则该产品为一等品.现从一批该产品中,随机抽取10件产品作为样本,其质量指标列表如下:产品编号A1A2A3A4A5质量指标(x,y,z)(1,1,2)(2,1,1)(2,2,2)(1,1,1)(1,2,1)产品编号A6A7A8A9A10质量指标(x,y,z

8、)(1,2,2)(2,1,1)(2,2,1)(1,1,1)(2,1,2)(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率.(2)在该样本的一等品中,随机抽取2件产品.用产品编号列出所有可能的结果;设事件B为“在取出的2件产品中,每件产品的综合指标S都等于4”,求事件B发生的概率.【解析】(1)计算10件产品的综合指标S,如下表:产品编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10S4463454535其中S4的有A1,A2,A4,A5,A7,A9,共6件,故该样本的一等品率为=0.6,从而可估计该批产品的一等品率为0.6.(2)在该样本的一等品中,随机抽取2件产品,试验的样本空间=(A1,A2

9、),(A1,A4),(A1,A5),(A1,A7),(A1,A9),(A2,A4),(A2,A5),(A2,A7),(A2,A9),(A4,A5),(A4,A7),(A4,A9),(A5,A7),(A5,A9),(A7,A9)共15个样本点.在该样本的一等品中,综合指标S等于4的产品编号分别为A1,A2,A5,A7,则事件B包含的样本点有:(A1,A2),(A1,A5),(A1,A7),(A2,A5),(A2,A7),(A5,A7),共6个样本点. 所以P(B)=.【类题通】古典概型及其解法1.古典概型是一种最基本的概率模型,也是学习其他概率模型的基础,在高考题中,经常出现此种概率模型的题目.

10、解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征,即有限性和等可能性.2.在求古典概型问题的概率时,往往需要我们将所有基本事件一一列举出来,以便确定基本事件总数及事件所包含的基本事件数.这就是我们常说的穷举法.在列举时应注意按一定的规律、标准,不重不漏.【加练固】 甲、乙两校各有3名教师报名支教,其中甲校2男1女,乙校1男2女.(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师性别相同的概率.(2)若从报名的6名教师中任选2名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师来自同一所学校的概率.【解析】(1)甲校2名男教师分别用A,B表示,1名女教师用C表示;乙校1名男教师用D表

11、示,2名女教师分别用E,F表示.从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,试验的样本空间=(A,D),(A,E),(A,F),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),共9个样本点.事件“从中选出2名教师性别相同”包含的样本点有:(A,D),(B,D),(C,E),(C,F),共4种,所以选出的2名教师性别相同的概率为P=.(2)从甲校和乙校报名的6名教师中任选2名,试验的样本空间=(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F),共15个样

12、本点.从中选出2名教师来自同一所学校包含的样本点有:(A,B),(A,C),(B,C),(D,E),(D,F),(E,F),共6个样本点,所以选出的2名教师来自同一所学校的概率为P=.角度2概率统计的综合应用【典例4】某中学组织了一次数学学业水平模拟测试,学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析,分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图.(注:分组区间为60,70),70,80),80,90),90,100)(1)若得分大于或等于80认定为优秀,则男、女生的优秀人数各为多少?(2)在(1)中所述的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人,从这5人中任意选取2人,求

13、至少有一名男生的概率.【解析】(1)由题可得,男生优秀人数为100(0.01+0.02)10=30,女生优秀人数为100(0.015+0.03)10=45.(2)因为样本量与总体中的个体数的比是=,所以样本中包含的男生人数为30=2,女生人数为45=3.设抽取的5人分别为A,B, C, D,E,其中A,B为男生,C, D,E为女生,从5人中任意选取2人,试验的样本空间=(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E) ,共10个样本点.事件“至少有一名男生”包含的样本点有:(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B

14、,C),(B,D),(B,E),共7个样本点,故至少有一名男生的概率为P=,即选取的2人中至少有一名男生的概率为.【类题通】求解古典概型的交汇问题一般步骤1.将题目条件中的相关知识转化为事件;2.判断事件是否为古典概型;3.选用合适的方法确定基本事件个数;4.代入古典概型的概率公式求解.【加练固】 甲、乙两组各四名同学的植树棵数如下,甲:9,9,11,11,乙:X,8,9,10,其中有一个数据模糊,无法确认,以X表示.(1)如果X=8,求乙组同学植树棵数的平均数和方差.(2)如果X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵数为19的概率.【解析】(1)当X=8时,乙组四名

15、同学的植树棵数分别是8,8,9,10,故=,s2=.(2)当X=9时,记甲组四名同学分别为A1,A2,A3,A4,他们植树的棵数依次为9,9,11,11;乙组四名同学分别为B1,B2,B3,B4,他们植树的棵数依次为9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,试验的样本空间=(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,B4),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,B4),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(A3,B4),(A4,B1),(A4,B2),(A4,B3),(A4,B4),共16个样本点.设“选出的两名同学的植树总棵数为19”为事件C,则事件C中包含的样本点有(A1,B4),(A2,B4),(A3,B2),(A4,B2),共4个.故P(C)=.- 8 -

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