2019_2020学年新教材高中数学第一课考点突破素养提升新人教A版必修2.doc

第一课考点突破素养提升素养一数学运算角度1平面向量的运算 【典例1】如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，DC上的点，且满足=，=2，记=a，=b，试以a，b为平面向量的一组基底.利用向量的有关知识解决下列问题.(1)用a，b来表示向量与.(2)若|=3，|=2，且|=，求|.【解析】(1)=+=+=-=a-b，=+=+=-=b-a.(2)由(1)可知：=-，=-，所以=-+，因为|=3，|=2，且|=，所以=22-23cosBAD+32，所以cosBAD=，所以=-+，=32-32cosBAD+22，=9-6+1=7，所以=.【类题通】1.向量的线性运算的求解方法(1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解.(2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.2.平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即ab=|a|b|cos.(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则ab=x1x2+y1y2.(3)利用数量积的几何意义求解.【加练固】正方形ABCD的边长为2，点E为BC边的中点，F为CD边上一点，若=，则=()A.3B.5C.D.【解析】选D.如图：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立坐标系，因为E为BC边的中点，所以E(2，1)，因为F为CD边上一点，所以可设F(t，2)(0t2)，所以=(t，2)，=(2，1)，由=可得：2t+2=22+1=5，所以t=，所以=，所以=.角度2利用正、余弦定理解三角形【典例2】(1)(2019大庆高一检测)在ABC中，若A=60，a=4，b=4，则B等于()A.45或135B.135C.45D.以上答案都不对(2)在ABC中，若a=8，b=7，cos C=，则最大角的余弦值是()A.-B.-C.-D.-(3)在ABC中，点D在BC边上，cosADB=-，cos C=，AC=7.求sinCAD的值；若BD=10，求AD的长.【解析】(1)选C.由正弦定理得sin B=，又因为bc，已知=2，cos B=，b=3.求：(1)a和c的值.(2)cos(B-C)的值.【解析】(1)由=2得cacos B=2.又cos B=，所以ac=6.由余弦定理，得a2+c2=b2+2accos B.又b=3，所以a2+c2=9+26=13.解得或因为ac，所以a=3，c=2.(2)在ABC中，sin B=，由正弦定理，得sin C=sin B=.因为a=bc，所以C为锐角，因此cos C=.于是cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C=+=.素养二直观想象角度平面向量在解三角形中的应用【典例5】已知点O是ABC内部一点，并且满足+2+3=0，BOC的面积为S1，ABC的面积为S2，则=()A.B.C.D.【解析】选A.因为+2+3=0，所以+=-2，分别取AC，BC的中点D，E，则+=2，+=2，所以=-2，即O，D，E三点共线且=2，如图所示，则SOBC=SDBC，由于D为AC中点，所以SDBC=SABC，所以SOBC=SABC，即=.【类题通】数形结合思想在平面向量中的应用(1)向量的线性运算中，三角形、平行四边形法则、数乘向量都让向量具备形的特征，解此类问题的关键往往是利用图形直观地进行分析，如典例5中，通过对已知向量表达式的变形，推出BOC与ABC的面积之间的关系.(2)向量的数量积运算中，首先要注意向量投影的应用，其次向量的数量积可处理线段的长度、两直线夹角问题.【加练固】 如图，已知AB为圆C的一条弦，且=2，则=_.【解析】过点C作CDAB于D，则D为弦AB的中点，在RtACD中，AD=AB，cosCAB=，=cosCAB=2，所以=2.答案：2素养三逻辑推理角度1平面向量在平面几何中的应用【典例6】已知ABC，点H，O为ABC 所在平面内的点，且=，=，+=，则点O为ABC 的()A.内心B.外心C.重心D.垂心【解析】选B.因为=，所以=0，即=0，又+=，所以+=-，即=+，所以=0，即=0，所以=，所以OB=OC，同理OA=OC，所以O是ABC 的外心.【类题通】向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题.设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，为实数.(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：aba=b(b0)x1y2-x2y1=0.(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质：ab ab=0 x1x2+y1y2=0.(3)求夹角问题，利用夹角公式：cos =(为a与b的夹角).【加练固】若O为ABC 所在平面内一点，=0 ，则ABC 的形状是()A.等腰三角形B.直角三角形C.正三角形D.以上答案均错【解析】选A.=0，设D为AB的中点，则+=2，所以2=0，所以，所以ABC的中线与底边垂直，所以ABC是等腰三角形.角度2利用正弦、余弦定理判断三角形的形状【典例7】已知ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a+c=2b，2cos 2B-8cos B+5=0，求角B的大小并判断ABC的形状.【解析】因为2cos 2B-8cos B+5=0，所以2(2cos2B-1)-8cos B+5=0.所以4cos2B-8cos B+3=0，即(2cos B-1)(2cos B-3)=0.解得cos B=或cos B=(舍去).因为0B，所以B=.因为a+c=2b.由正弦定理，得sin A+sin C=2sin B=2sin=.所以sin A+sin=，所以sin A+sincos A-cossin A=.化简得sin A+cos A=，所以sin=1.因为0A，所以A+0A为锐角，b2+c2-a2=0A为直角，b2+c2-a20A为钝角.【加练固】在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C.(1)求A的大小.(2)若sin B+sin C=1，试判断ABC的形状.【解析】(1)由已知和正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c，即a2=b2+c2+bc.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A，故cos A=-，又0A180，所以A=120.(2)由a2=b2+c2+bc得sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C，由sin B+sin C=1得sin2B+sin2C+2sin Bsin C=1.由及sin A=，得sin Bsin C=.又sin B+sin C=1，故sin B=sin C=.因为0B90，0C90，故B=C=30，所以ABC是等腰的钝角三角形.素养四数学建模角度利用正弦、余弦定理解实际应用题【典例8】(2019福州高一检测)如图所示，A，B，C为山脚两侧共线的三点，在山顶P处测得三点的俯角分别为，.计划沿直线AC开通穿山隧道，请根据表格中的数据，计算隧道DE的长度.cos ADEBBC4560 12-3【解析】由cos =，为锐角可得，sin =，则sin(60-)=sin 60cos -cos 60sin =.在PBC中，BPC=60-，PCB=，BC=12-3.由正弦定理可得，PB=6.在PAB中，PAB=45，APB=75，PB=6.由正弦定理可得，AB=9+3，即DE=AB-AD-EB=9所以，隧道DE的长度为9.【类题通】1.几种常见题型测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题等.2.解题时需注意的几个问题(1)要注意仰角、俯角、方位角、方向角等概念，并能准确地找出(或作出)这些角；(2)要注意将平面几何中的性质、定理与正、余弦定理结合起来，发现题目中的隐含条件，才能顺利解决.【加练固】 如图，A，C两岛之间有一片暗礁，一艘小船于某日上午8时从A岛出发，以10海里/小时的速度，沿北偏东75方向直线航行，下午1时到达B处.然后以同样的速度，沿北偏东15方向直线航行，下午4时到达C岛.(1)求A，C两岛之间的直线距离.(2)求BAC的正弦值.【解析】(1)在ABC中，由已知，AB=105=50，BC=103=30，ABC=180-75+15=120.根据余弦定理，得AC2=502+302-25030cos 120=4 900，所以AC=70.故A，C两岛之间的直线距离是70海里.(2)在ABC中，据正弦定理，得=，所以sinBAC=.故BAC的正弦值是.- 17 -