2019_2020学年新教材高中数学第一课考点突破素养提升新人教A版必修2.doc

第一课
考点突破·素养提升
素养一　数学运算
角度1　平面向量的运算
【典例1】如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，DC上的点，且满足=，=2，记=a，=b，试以a，b为平面向量的一组基底.利用向量的有关知识解决下列问题.

(1)用a，b来表示向量与.
(2)若||=3，||=2，且||=，求||.
【解析】(1)=+=+
=-=a-b，
=+=+
=-=b-a.
(2)由(1)可知：=-，=-，
所以=
=-·+，
因为||=3，||=2，且||=，
所以=22-×2×3×cos∠BAD+×32，
所以cos∠BAD=，
所以=
=-·+，
=32-3×2×cos∠BAD+×22，
=9-6×+1=7，
所以=.
　【类题·通】
1.向量的线性运算的求解方法
(1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解.
(2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.
2.平面向量数量积的三种运算方法
(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b=|a||b|cos<a，b>.
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a·b=x1x2+y1y2.
(3)利用数量积的几何意义求解.
【加练·固】
正方形ABCD的边长为2，点E为BC边的中点，F为CD边上一点，若·=，则= (　　)

A.3　　　B.5　　　C.　　　D.
【解析】选D.如图：

以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立坐标系，
因为E为BC边的中点，所以E(2，1)，
因为F为CD边上一点，
所以可设F(t，2)(0≤t≤2)，
所以=(t，2)，=(2，1)，
由·=可得：2t+2=22+1=5，
所以t=，所以=，
所以==.
角度2　利用正、余弦定理解三角形
【典例2】(1)(2019·大庆高一检测)在△ABC中，若A=60°，a=4，b=4，则B等于 (　　)
A.45°或135°　　　　 B.135°
C.45° D.以上答案都不对
(2)在△ABC中，若a=8，b=7，cos C=，则最大角的余弦值是 (　　)
A.-　　　　　　 B.-
C.- D.-
(3)在△ABC中，点D在BC边上，cos∠ADB=-，
cos C=，AC=7.
①求sin∠CAD的值；②若BD=10，求AD的长.
【解析】(1)选C.由正弦定理得sin B=
==，又因为b<a，所以B为锐角，所以B=45°.
(2)选C.由余弦定理，
得c2=a2+b2-2abcos C=82+72-2×8×7×=9，所以c=3，故a最大，所以最大角的余弦值为
cos A===-.
(3)①因为∠ADB+∠ADC=180°，且cos∠ADB=-，
所以cos∠ADC=，sin∠ADC=，
由cos C=，C∈得sin C=，
又因为∠CAD+∠ADC +∠ACD=180°，
所以sin∠CAD=sin(∠ADC +∠ACD)
= sin∠ADC cos∠ACD+ cos∠ADCsin∠ACD
=×+×=.
②在△ACD中，由=，得
AD==4.
　【类题·通】
　解三角形的一般方法
(1)已知两角和一边，如已知A、B和c，由A+B+C=π求C，由正弦定理求a、b.
(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a、b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C=π，求另一角.
(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a、b和A，应先用正弦定理求B，由A+B+C=π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况.
(4)已知三边a、b、c，可应用余弦定理求A、B、C.
【加练·固】
　　 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，B=45°，b=，cos C=.

(1)求边长a.
(2)设AB中点为D，求中线CD的长.
【解析】(1)由cos C= 得：
sin C= ==，
sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C
=×+×=，
由正弦定理得a===3.
(2)由余弦定理得c2= (3)2+()2-2×3××=4，
所以c=2，又因为D为AB的中点，所以BD=1.
在△BCD中，由余弦定理得
CD2=BD2+BC2-2×BD×BC×cos B
= 12+(3)2-2×1×3×=13，所以CD=.
角度3　计算三角形的面积
【典例3】在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且asin B=-bsin.
(1)求A.
(2)若△ABC的面积S=c2， 求sin C的值.
【解析】(1)因为asin B=-bsin(A+) ，所以由正弦定理得sin A=-sin(A+) ，
即sin A=-sin A-cos A，化简得tan A=-，
因为A∈(0，π)，所以A=.
(2)因为A=，所以sin A=，
由S=c2=bcsin A=bc，得b=c，
所以a2=b2+c2-2bccos A=7c2，
则a=c，由正弦定理得sin C= =.
　【延伸·练】
　　　将本例条件“asin B=-bsin”改为“bsin B+(c-b)sin C=asin A”，“S=c2”改为“sin Bsin C=，S=2”，求角A和a.
【解析】因为bsin B+(c-b)sin C=asin A，
由正弦定理得b2+(c-b)c=a2，即b2+c2-a2=bc，
所以cos A==，又A∈，
所以A=.由正弦定理得b=，c=，
所以S△ABC=bcsin A
=···sin A
==2.又sin Bsin C=，
sin A=，所以a2=2，解得a=4.
　【类题·通】
　与三角形的面积有关的两类题型
对于此类问题，一般用公式S=absin C=bcsin A=acsin B进行求解，可分为以下两种情况：
(1)若所求面积为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积.
(2)若所给条件为边角关系，则需要运用正、余弦定理求出某两边及夹角，再利用三角形面积公式进行求解.
【加练·固】
(2019·常州高一检测)在△ABC中，∠BAC=，AB=6，AC=3，点D在BC边上，AD=BD.

(1)求BC的长度及sin B的值.
(2)求AD的长度及△ADC的面积.
【解析】(1) 在△ABC中，由余弦定理得：
BC=
==3.
在△ABC中，由正弦定理得： =，
所以sin B===.
　(2)因为B∈，cos B=，
记AD=BD=x，在△ABD中，
cos B===，得x=.
所以AD=.S△ADC=S△ABC-S△ABD=AB·(BC-BD)sin B=×6×2×=6.
角度4　解三角形与三角函数向量的综合应用
【典例4】(2019·嘉兴高一检测)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， 满足sin2A+sin2B-sin2C=-sin Asin B.
(1)求角C大小.
(2)若c=2，求a+b的取值范围.
【解析】(1)因为sin2A+sin2B-sin2C=-sin Asin B，
所以由正弦定理得a2+b2-c2=-ab，
所以cos C===-，
因为C∈，所以C=.
(2)由正弦定理得2R==4，
所以a+b=2R
=4[sin A+sin]
=4
=4sin，因为A∈，
所以A+∈，所以sin(A+)∈，
所以a+b的取值范围是.
　【类题·通】
　正、余弦定理综合应用的两类题型
正、余弦定理将三角形中的边和角关系进行了量化，为我们解三角形或求三角形的面积提供了依据，主要题型有以下两类
(1)解三角形与向量的交汇问题，可以结合向量的平行、垂直、夹角、模等知识转化求解.
(2)解三角形与其他知识的交汇问题，可以运用三角形的基础知识、正余弦定理、三角形面积公式与三角恒等变换，通过等价转化或构造方程及函数求解.
【加练·固】
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c，已知·=2，
cos B=，b=3.求：
(1)a和c的值.
(2)cos(B-C)的值.
【解析】(1)由·=2得cacos B=2.
又cos B=，所以ac=6.
由余弦定理，得a2+c2=b2+2accos B.
又b=3，所以a2+c2=9+2×6×=13.
解　得或
因为a>c，所以a=3，c=2.
(2)在△ABC中，sin B===，
由正弦定理，得sin C=sin B=×=.
因为a=b>c，所以C为锐角，
因此cos C===.
于是cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C
=×+×=.
素养二　直观想象
角度　平面向量在解三角形中的应用
【典例5】已知点O是△ABC内部一点，并且满足+2+3=0，△BOC的面积为S1，△ABC的面积为S2，则= (　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
【解析】选A.因为+2+3=0，
所以+=-2，
分别取AC，BC的中点D，E，则
+=2，+=2，
所以=-2，即O，D，E三点共线且
=2，如图所示，

则S△OBC=S△DBC，
由于D为AC中点，
所以S△DBC=S△ABC，
所以S△OBC=S△ABC，即=.
　【类题·通】
　数形结合思想在平面向量中的应用
(1)向量的线性运算中，三角形、平行四边形法则、数乘向量都让向量具备形的特征，解此类问题的关键往往是利用图形直观地进行分析，如典例5中，通过对已知向量表达式的变形，推出△BOC与△ABC的面积之间的关系.
(2)向量的数量积运算中，首先要注意向量投影的应用，其次向量的数量积可处理线段的长度、两直线夹角问题.
【加练·固】
　　 如图，已知AB为圆C的一条弦，且·=2，则=________. 

【解析】过点C作CD⊥AB于D，则D为弦AB的中点，

在Rt△ACD中，AD=AB，
cos∠CAB==，
·=cos∠CAB==2，
所以=2.
答案：2
素养三　逻辑推理
角度1　平面向量在平面几何中的应用
【典例6】已知△ABC，点H，O为△ABC 所在平面内的点，且·=·，·=·，++=，则点O为△ABC 的 (　　)
A.内心　　　B.外心　　　C.重心　　　D.垂心
【解析】选B.因为·=·，
所以·=0，即·=0，
又++=，
所以+=-，即=+，
所以·=0，
即·=0，
所以=，所以OB=OC，
同理OA=OC，所以O是△ABC 的外心.
　【类题·通】
　向量在平面几何中的应用
平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题.
设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，λ为实数.
(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：
a∥b⇔a=λb(b≠0)⇔x1y2-x2y1=0.
(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质：
a⊥b⇔ a·b=0⇔ x1x2+y1y2=0.
(3)求夹角问题，利用夹角公式：
cos θ==(θ为a与b的夹角).
【加练·固】
若O为△ABC 所在平面内一点，·=0 ，则△ABC 的形状是 (　　)
A.等腰三角形　　　　　 B.直角三角形
C.正三角形 D.以上答案均错
【解析】选A.·=·=0，
设D为AB的中点，则+=2，
所以·2=0，所以⊥，
所以△ABC的中线与底边垂直，
所以△ABC是等腰三角形.
角度2　利用正弦、余弦定理判断三角形的形状
【典例7】已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a+c=2b，2cos 2B-8cos B+5=0，求角B的大小并判断△ABC的形状.
【解析】因为2cos 2B-8cos B+5=0，所以2(2cos2B-1)-8cos B+5=0.所以4cos2B-8cos B+3=0，
即(2cos B-1)(2cos B-3)=0.
解得cos B=或cos B=(舍去).
因为0<B<π，所以B=.因为a+c=2b.
由正弦定理，得sin A+sin C=2sin B=2sin=.
所以sin A+sin=，
所以sin A+sincos A-cossin A=.
化简得sin A+cos A=，所以sin=1.
因为0<A<，所以<A+<，
所以A+=.所以A=，C=.
所以△ABC是等边三角形.
　【类题·通】
　根据所给条件确定三角形的形状的两条途径
(1)化边为角；(2)化角为边.
常见具体方法有：
①通过正弦定理实施边角转换；
②通过余弦定理实施边角转换；
③通过三角变换找出角之间的关系；
④b2+c2-a2>0⇔A为锐角，b2+c2-a2=0⇔A为直角，b2+c2-a2<0⇔A为钝角.
　【加练·固】
在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A=(2b+c)sin B+(2c+
b)sin C.
(1)求A的大小.
(2)若sin B+sin C=1，试判断△ABC的形状.
【解析】(1)由已知和正弦定理得
2a2=(2b+c)b+(2c+b)c，即a2=b2+c2+bc.
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A，故cos A=-，
又0°<A<180°，所以A=120°.
(2)由a2=b2+c2+bc得
sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C，①
由sin B+sin C=1得
sin2B+sin2C+2sin Bsin C=1.②
由①②及sin A=，得sin Bsin C=.
又sin B+sin C=1，故sin B=sin C=.
因为0°<B<90°，0°<C<90°，故B=C=30°，
所以△ABC是等腰的钝角三角形.
素养四　数学建模
角度　利用正弦、余弦定理解实际应用题
【典例8】(2019·福州高一检测)如图所示，A，B，C为山脚两侧共线的三点，在山顶P处测得三点的俯角分别为α，β，γ.计划沿直线AC开通穿山隧道，请根据表格中的数据，计算隧道DE的长度.
α
β
cos γ
AD
EB
BC
45°
60°

12-3

【解析】由cos γ=，γ为锐角可得，sin γ=，
则sin(60°-γ)=sin 60°cos γ-cos 60°sin γ=.
在△PBC中，∠BPC=60°-γ，∠PCB=γ，
BC=12-3.由正弦定理可得，
PB===6.
在△PAB中，∠PAB=45°，∠APB=75°，
PB=6.由正弦定理可得，
AB===9+3，
即DE=AB-AD-EB=9
所以，隧道DE的长度为9.
　【类题·通】
1.几种常见题型
测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题等.
2.解题时需注意的几个问题
(1)要注意仰角、俯角、方位角、方向角等概念，并能准确地找出(或作出)这些角；
(2)要注意将平面几何中的性质、定理与正、余弦定理结合起来，发现题目中的隐含条件，才能顺利解决.
【加练·固】
　　 如图，A，C两岛之间有一片暗礁，一艘小船于某日上午8时从A岛出发，以10海里/小时的速度，沿北偏东75°方向直线航行，下午1时到达B处.然后以同样的速度，沿北偏东15°方向直线航行，下午4时到达C岛.

(1)求A，C两岛之间的直线距离.
(2)求∠BAC的正弦值.
【解析】(1)在△ABC中，由已知，AB=10×5=50，BC=10×3=30，
∠ABC=180°-75°+15°=120°.
根据余弦定理，得AC2=502+302-2×50×30cos 120°=4 900，所以AC=70.故A，C两岛之间的直线距离是70海里.
(2)在△ABC中，据正弦定理，得=，所以
sin∠BAC===.故∠BAC的正弦值是.

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